Calcule as seguintes integrais, por integração por partes.
\int x^{2} \cos (4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada da função x^{2}\cos(4x), isto é, encontrar
\int x^{2}\cos(4x)\,dx.
Informações dadas: o integrando é o produto de um polinômio x^{2} e a função trigonométrica \cos(4x). O que se pede: uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=x^{2}\cos(4x). Vamos usar integração por partes (conforme o enunciado).

Passo 2

Lembrete da técnica (aula curta e suave): integração por partes vem da regra do produto. Se escolhermos duas funções u(x) e v(x) com derivadas razoáveis, a fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u é uma função que vamos derivar (ficando mais simples) e dv é a parte que integramos para obter v. Sempre expliquei isso como: a gente transforma uma integral de um produto em algo (esperançosamente) mais simples, trocando uma derivada por uma integral controlada. Agora aplicamos ao nosso caso.

Passo 3

Escolha para a primeira aplicação de integração por partes:
u = x^{2},\qquad dv = \cos(4x)\,dx.
Calculamos du e v:
du = 2x\,dx,
e para v precisamos integrar dv:
v=\int \cos(4x)\,dx.
A integral de \cos(4x) é \frac{1}{4}\sin(4x) (porque a derivada de \sin(4x) é 4\cos(4x)). Ou seja,
v = \frac{1}{4}\sin(4x).

Passo 4

Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du com as escolhas acima:
\int x^{2}\cos(4x)\,dx = x^{2}\cdot\frac{1}{4}\sin(4x) - \int \frac{1}{4}\sin(4x)\cdot 2x\,dx.
Reescrevendo o fator que sai da integral:
\int x^{2}\cos(4x)\,dx = \frac{1}{4}x^{2}\sin(4x) - \frac{1}{2}\int x\sin(4x)\,dx.
Agora resta calcular \int x\sin(4x)\,dx. Ainda é um produto polinômio × trigonométrica, então aplicamos integração por partes novamente.

Passo 5

Segunda aplicação de integração por partes para \int x\sin(4x)\,dx. Escolha:
u = x,\qquad dv = \sin(4x)\,dx.
Então
du = dx,
e
v = \int \sin(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\cos(4x),
porque a derivada de \cos(4x) é -4\sin(4x). Agora aplique a fórmula:
\int x\sin(4x)\,dx = u v - \int v\,du = x\left(-\frac{1}{4}\cos(4x)\right) - \int \left(-\frac{1}{4}\cos(4x)\right)\,dx.
Isso é
\int x\sin(4x)\,dx = -\frac{1}{4}x\cos(4x) + \frac{1}{4}\int \cos(4x)\,dx.
E já sabemos \int \cos(4x)\,dx = \frac{1}{4}\sin(4x), então
\int x\sin(4x)\,dx = -\frac{1}{4}x\cos(4x) + \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\sin(4x).
Portanto
\int x\sin(4x)\,dx = -\frac{1}{4}x\cos(4x) + \frac{1}{16}\sin(4x).

Passo 6

Voltamos à expressão obtida no Passo 4:
\int x^{2}\cos(4x)\,dx = \frac{1}{4}x^{2}\sin(4x) - \frac{1}{2}\int x\sin(4x)\,dx.
Substituímos o resultado do Passo 5:
\int x^{2}\cos(4x)\,dx = \frac{1}{4}x^{2}\sin(4x) - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}x\cos(4x) + \frac{1}{16}\sin(4x)\right) + C',
onde C' é uma constante de integração (vou simplificar em seguida e colocar a constante final como C). Se quiseres, agora fazemos a distribuição do -\tfrac{1}{2} e simplificamos os coeficientes.

Passo 7

Distribuindo e simplificando os coeficientes:
\int x^{2}\cos(4x)\,dx = \frac{1}{4}x^{2}\sin(4x) + \frac{1}{8}x\cos(4x) - \frac{1}{32}\sin(4x) + C,
onde C é a constante de integração final. Esta expressão é a antiderivada pedida; podes verificar derivando para conferir que volta a dar x^{2}\cos(4x).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}x^{2}\sin(4x)+\frac{1}{8}x\cos(4x)-\frac{1}{32}\sin(4x)+C

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