Calcule as seguintes integrais, por integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a antiderivada da função
, isto é, encontrar
Informações dadas: o integrando é o produto de um polinômio
e a função trigonométrica
. O que se pede: uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que
. Vamos usar integração por partes (conforme o enunciado).
Passo 2
Lembrete da técnica (aula curta e suave): integração por partes vem da regra do produto. Se escolhermos duas funções
e
com derivadas razoáveis, a fórmula é
Aqui
é uma função que vamos derivar (ficando mais simples) e
é a parte que integramos para obter
. Sempre expliquei isso como: a gente transforma uma integral de um produto em algo (esperançosamente) mais simples, trocando uma derivada por uma integral controlada. Agora aplicamos ao nosso caso.
Passo 3
Escolha para a primeira aplicação de integração por partes:
Calculamos
e
:
e para
precisamos integrar
:
A integral de
é
(porque a derivada de
é
). Ou seja,
Passo 4
Aplicando a fórmula
com as escolhas acima:
Reescrevendo o fator que sai da integral:
Agora resta calcular
. Ainda é um produto polinômio × trigonométrica, então aplicamos integração por partes novamente.
Passo 5
Segunda aplicação de integração por partes para
. Escolha:
Então
e
porque a derivada de
é
. Agora aplique a fórmula:
Isso é
E já sabemos
, então
Portanto
Passo 6
Voltamos à expressão obtida no Passo 4:
Substituímos o resultado do Passo 5:
onde
é uma constante de integração (vou simplificar em seguida e colocar a constante final como
). Se quiseres, agora fazemos a distribuição do
e simplificamos os coeficientes.
Passo 7
Distribuindo e simplificando os coeficientes:
onde
é a constante de integração final. Esta expressão é a antiderivada pedida; podes verificar derivando para conferir que volta a dar
.