Se
, determine
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida por
e pede para determinar
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A variável de integração é
. - O limite inferior da integral é
e o limite superior é a variável . - O integrando é
. - O ponto onde queremos a derivada é
.
Passo 2
Vamos lembrar (e explicar) uma ferramenta fundamental que usamos aqui: o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1). Ele diz o seguinte: se
é contínua num intervalo que contém
e
, então a função
é diferenciável e
O que isso significa, em palavras simples: quando a integral tem o limite superior igual a
, a derivada dessa integral em relação a
é simplesmente o integrando avaliado em
. Aqui cada símbolo significa:
é a função que estamos integrando,
é o limite fixo inferior,
é o limite superior variável, e
é a derivada de
em
.
Passo 3
Por que precisamos que
seja contínua? Porque a garantia
exige continuidade do integrando no intervalo para evitar problemas (por exemplo, se o integrando tem descontinuidades nesse intervalo, a igualdade pode falhar). Então vamos checar a continuidade de
Uma função racional (uma fração de polinômios) é contínua onde o denominador é diferente de zero. Portanto devemos verificar se o polinômio
pode ser zero para algum
.
Passo 4
Analisando o polinômio
: é um quadrático cuja discriminante é
Como
, o polinômio não tem raízes reais; isso significa que
nunca é zero para nenhum
. Podemos ainda observar que em
temos
, e sendo um quadrático com coeficiente de
positivo,
é sempre positivo. Então o denominador nunca se anula e
é contínua para todo
.
Passo 5
Como
é contínua em todo
, em particular no intervalo que contém
e
, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Logo
Agora basta avaliar em
:
Passo 6
Calcule a soma no denominador:
Portanto