Se F(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{1+t+t^{2}} d t, determine F^{\prime}(2).

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por
F(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{1+t+t^{2}}\,dt
e pede para determinar F'(2).
Informações relevantes que temos:
  • A variável de integração é t.
  • O limite inferior da integral é 1 e o limite superior é a variável x.
  • O integrando é f(t)=\dfrac{1}{1+t+t^{2}}.
  • O ponto onde queremos a derivada é x=2.

Passo 2

Vamos lembrar (e explicar) uma ferramenta fundamental que usamos aqui: o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 1). Ele diz o seguinte: se f é contínua num intervalo que contém a e x, então a função
G(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt
é diferenciável e
G'(x)=f(x).
O que isso significa, em palavras simples: quando a integral tem o limite superior igual a x, a derivada dessa integral em relação a x é simplesmente o integrando avaliado em x. Aqui cada símbolo significa: f(t) é a função que estamos integrando, a é o limite fixo inferior, x é o limite superior variável, e G'(x) é a derivada de G em x.

Passo 3

Por que precisamos que f seja contínua? Porque a garantia G'(x)=f(x) exige continuidade do integrando no intervalo para evitar problemas (por exemplo, se o integrando tem descontinuidades nesse intervalo, a igualdade pode falhar). Então vamos checar a continuidade de
f(t)=\frac{1}{1+t+t^{2}}.
Uma função racional (uma fração de polinômios) é contínua onde o denominador é diferente de zero. Portanto devemos verificar se o polinômio 1+t+t^{2} pode ser zero para algum t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Analisando o polinômio p(t)=1+t+t^{2}: é um quadrático cuja discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2}-4\cdot 1\cdot 1 = 1-4 = -3.
Como \Delta<0, o polinômio não tem raízes reais; isso significa que 1+t+t^{2} nunca é zero para nenhum t\in\mathbb{R}. Podemos ainda observar que em t=0 temos 1+0+0=1>0, e sendo um quadrático com coeficiente de t^{2} positivo, 1+t+t^{2} é sempre positivo. Então o denominador nunca se anula e f(t) é contínua para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Como f é contínua em todo \mathbb{R}, em particular no intervalo que contém 1 e 2, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Logo
F'(x)=\frac{1}{1+x+x^{2}}.
Agora basta avaliar em x=2:
F'(2)=\frac{1}{1+2+2^{2}}.

Passo 6

Calcule a soma no denominador:
1+2+2^{2}=1+2+4=7.
Portanto
F'(2)=\frac{1}{7}.

Resposta

\dfrac{1}{7}

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