Calcule as seguintes integrais, por integração por partes.
\int x e^{x / 3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int x e^{x/3}\,dx.
Informações dadas: integrando é o produto de duas funções, x e e^{x/3}. A tarefa é encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula básica (derivada da regra do produto) é:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u e dv são partes que escolhemos do integrando; du é a derivada de u e v é uma primitiva de dv. A ideia prática: escolher u de modo que sua derivada seja mais simples, e dv de modo que possamos integrar facilmente.

Passo 3

Escolhemos
u = x,\qquad dv = e^{x/3}\,dx,
porque ao derivar x obtemos algo simples ( 1) e e^{x/3} é fácil de integrar. Agora calculamos du e v.

Passo 4

Derivando u:
du = dx.

Passo 5

Para obter v precisamos integrar dv:
v = \int e^{x/3}\,dx.
Usando a fórmula \int e^{ax}\,dx = \tfrac{1}{a}e^{ax} com a=\tfrac{1}{3}, temos
v = 3 e^{x/3},
pois \frac{d}{dx}\big(3 e^{x/3}\big)=3\cdot\frac{1}{3}e^{x/3}=e^{x/3}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
\int x e^{x/3}\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x e^{x/3}\,dx = x\cdot 3 e^{x/3} - \int 3 e^{x/3}\,dx.
Simplificando:
\int x e^{x/3}\,dx = 3x e^{x/3} - 3\int e^{x/3}\,dx.

Passo 7

Já sabemos de antes que \int e^{x/3}\,dx = 3 e^{x/3}. Substituindo:
\int x e^{x/3}\,dx = 3x e^{x/3} - 3\cdot 3 e^{x/3} + C = 3x e^{x/3} - 9 e^{x/3} + C.
Fatorando 3 e^{x/3}:
\int x e^{x/3}\,dx = 3 e^{x/3}(x-3) + C.

Passo 8

Verificação rápida (útil na hora da prova): derivando F(x)=3 e^{x/3}(x-3) obtemos
F'(x)=3\cdot\frac{1}{3}e^{x/3}(x-3)+3 e^{x/3}=e^{x/3}(x-3)+3 e^{x/3}=x e^{x/3},
que é o integrando original. Então a primitiva está correta.

Resposta

\;3 e^{x/3}(x-3)+C

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