Calcule as seguintes integrais, por integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: integrando é o produto de duas funções, e
. A tarefa é encontrar uma primitiva (ou seja, a antiderivada) dessa função.
Informações dadas: integrando é o produto de duas funções,
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula básica (derivada da regra do produto) é:
Aqui
e
são partes que escolhemos do integrando;
é a derivada de
e
é uma primitiva de
. A ideia prática: escolher
de modo que sua derivada seja mais simples, e
de modo que possamos integrar facilmente.
Passo 3
Escolhemos
porque ao derivar
obtemos algo simples (
) e
é fácil de integrar. Agora calculamos
e
.
Passo 4
Derivando
:
Passo 5
Para obter
precisamos integrar
:
Usando a fórmula
com
, temos
pois
.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Passo 7
Já sabemos de antes que
. Substituindo:
Fatorando
:
Passo 8
Verificação rápida (útil na hora da prova): derivando
obtemos
que é o integrando original. Então a primitiva está correta.