Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
F(x)=\int_{0}^{x^{3}} \frac{\operatorname{sen} t}{t} d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
F(x)=\int_{0}^{x^{3}} \frac{\operatorname{sen} t}{t}\,dt.
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • A função integral tem limite inferior fixo 0 e limite superior dependente de x, igual a x^{3}.
  • A função integranda é \displaystyle \frac{\operatorname{sen} t}{t} (vou usar a notação habitual \sin t para seno).
  • A pergunta é: qual é F'(x) para todo x (ou, se necessário, tratar separadamente x=0)?

Passo 2

Teorema que vamos usar (Teorema Fundamental do Cálculo + Regra da Cadeia), explicado de forma intuitiva:
  • Se f é contínua numa vizinhança que contém os valores entre a e g(x), e definimos
G(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt,
então uma pequena variação \Delta x provoca uma variação aproximada \Delta G \approx f(g(x))\cdot \Delta g, porque a integral sobre o pequeno intervalo [g(x),g(x)+\Delta g] é aproximadamente f(g(x))\Delta g. Dividindo por \Delta x e passando ao limite obtém-se a fórmula
G'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).
  • Aqui f(t) é a integranda (a função em t), g(x) é o limite superior que depende de x, e g'(x) é a derivada desse limite superior em relação a x.
  • Observação técnica: precisamos que f seja contínua no ponto t=g(x). No nosso caso \sin t / t tem uma descontinuidade removível em t=0, pois \lim_{t\to0}\sin t / t =1. Podemos então definir f(0)=1 para torná-la contínua em 0. Assim o teorema vale em todos os pontos.

Passo 3

Aplicando o teorema ao nosso problema:
  • Identificamos f(t)=\dfrac{\sin t}{t} (com f(0)=1 por continuidade removível) e g(x)=x^{3}.
  • Calculamos g'(x). Derivando g(x)=x^{3} obtemos
g'(x)=3x^{2}.
  • Pelo teorema,
F'(x)=f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=\frac{\sin\big(x^{3}\big)}{x^{3}}\cdot 3x^{2}.

Passo 4

Simplificação da expressão para x\neq 0:
  • Para x\neq 0 podemos simplificar \dfrac{3x^{2}}{x^{3}}=\dfrac{3}{x}. Portanto, para x\neq 0,
F'(x)=3\,\frac{\sin\big(x^{3}\big)}{x}.

Passo 5

Tratamento do ponto x=0 (importante porque a forma simplificada acima tem divisão por zero):
  • Vamos calcular F'(0) pela definição do derivada (quociente incrementa):
F'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{F(h)-F(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{0}^{h^{3}}\frac{\sin t}{t}\,dt.
  • A função f(t)=\dfrac{\sin t}{t}, com f(0)=1, é contínua no intervalo [0,h^{3}] quando h é pequeno. Pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe c\in(0,h^{3}) tal que
\int_{0}^{h^{3}}\frac{\sin t}{t}\,dt = h^{3}\,f\text{(c)}.
  • Assim o quociente fica
\frac{1}{h}\int_{0}^{h^{3}}\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{h^{3}}{h}f\text{(c)}=h^{2}f\text{(c)}.
Como f\text{(c)} é limitado (próximo de 1 quando h\to0), temos h^{2}f\text{(c)}\to 0 quando h\to0. Portanto F'(0)=0.
  • Nota: isso coincide com o limite da expressão obtida para x\neq 0, pois
\lim_{x\to 0}3\,\frac{\sin(x^{3})}{x}=3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^{3})}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{x^{3}}{x}=3\cdot 0=0,
usando \sin(y)\sim y para pequenos y.

Resposta

Para x\neq 0:\quad F'(x)=3\,\dfrac{\sin\big(x^{3}\big)}{x}.
Para x=0:\quad F'(0)=0.

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