Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Dados importantes extraídos do enunciado:
- A função integral tem limite inferior fixo
e limite superior dependente de , igual a . - A função integranda é
(vou usar a notação habitual para seno). - A pergunta é: qual é
para todo (ou, se necessário, tratar separadamente )?
Passo 2
Teorema que vamos usar (Teorema Fundamental do Cálculo + Regra da Cadeia), explicado de forma intuitiva:
- Se
é contínua numa vizinhança que contém os valores entre e , e definimos
então uma pequena variação
provoca uma variação aproximada
, porque a integral sobre o pequeno intervalo
é aproximadamente
. Dividindo por
e passando ao limite obtém-se a fórmula
- Aqui
é a integranda (a função em ), é o limite superior que depende de , e é a derivada desse limite superior em relação a . - Observação técnica: precisamos que
seja contínua no ponto . No nosso caso tem uma descontinuidade removível em , pois . Podemos então definir para torná-la contínua em . Assim o teorema vale em todos os pontos.
Passo 3
Aplicando o teorema ao nosso problema:
- Identificamos
(com por continuidade removível) e . - Calculamos
. Derivando obtemos
- Pelo teorema,
Passo 4
Simplificação da expressão para
:
- Para
podemos simplificar . Portanto, para ,
Passo 5
Tratamento do ponto
(importante porque a forma simplificada acima tem divisão por zero):
- Vamos calcular
pela definição do derivada (quociente incrementa):
- A função
, com , é contínua no intervalo quando é pequeno. Pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe tal que
- Assim o quociente fica
Como
é limitado (próximo de
quando
), temos
quando
. Portanto
.
- Nota: isso coincide com o limite da expressão obtida para
, pois
usando
para pequenos
.
Resposta
Para
Para
Para