Obter as equações paramétricas das seguintes curvas:
a curva no espaço de equação
a curva no espaço de equação
Passo 1
O enunciado pede: obter as equações paramétricas da curva dada pelas duas condições simultâneas:
e
Informações relevantes: a primeira equação descreve um círculo de raio
no plano
; a segunda relaciona
linearmente com
e
. A tarefa é achar uma parametrização única (ou equivalente) que satisfaça as duas equações simultaneamente.
Passo 2
Primeiro aprenda a parametrizar o círculo
. Esse é o círculo de raio
centrado na origem no plano
. A forma trigonométrica clássica é usar um parâmetro angular
(que representa o ângulo que o ponto faz com o eixo
):
Por que isso funciona? Pela identidade trigonométrica
. Aqui
varia normalmente em
para percorrer todo o círculo uma vez.
Passo 3
Agora use essa parametrização do círculo e substitua na equação que dá
. Substituindo
e
na expressão de
obtemos:
Portanto, uma parametrização natural da curva interseção é
com
.
Passo 4
Escrevendo em forma vetorial (útil na prova para representar curvas no espaço), temos
Expliquei antes o domínio:
percorre a curva uma volta no sentido anti-horário visto do eixo
. A curva é fechada porque
formam o círculo; o valor de
reaparece periodicamente com período
.
Passo 5
Como bônus didático: você pode simplificar a expressão de
usando identidade de soma de cosseno. Note que
Podemos escrever isso como amplitude vezes cosseno de um ângulo deslocado. Procuramos
e
tais que
Tomando
e
(pois
e
), obtemos a forma equivalente
Assim, outra escrita compacta da parametrização é
Resposta
ou, equivalentemente,