Obter as equações paramétricas das seguintes curvas:
a curva no espaço de equação x^{2}+y^{2}=1 ; z=2 . x-2 . y

Passo 1

O enunciado pede: obter as equações paramétricas da curva dada pelas duas condições simultâneas:
x^{2}+y^{2}=1
e
z=2\cdot x-2\cdot y.
Informações relevantes: a primeira equação descreve um círculo de raio 1 no plano xy; a segunda relaciona z linearmente com x e y. A tarefa é achar uma parametrização única (ou equivalente) que satisfaça as duas equações simultaneamente.

Passo 2

Primeiro aprenda a parametrizar o círculo \;x^{2}+y^{2}=1\;. Esse é o círculo de raio 1 centrado na origem no plano xy. A forma trigonométrica clássica é usar um parâmetro angular t (que representa o ângulo que o ponto faz com o eixo x):
x=\cos t,\qquad y=\sin t.
Por que isso funciona? Pela identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Aqui t varia normalmente em [0,2\pi) para percorrer todo o círculo uma vez.

Passo 3

Agora use essa parametrização do círculo e substitua na equação que dá z. Substituindo x=\cos t e y=\sin t na expressão de z obtemos:
z=2\cdot(\cos t)-2\cdot(\sin t).
Portanto, uma parametrização natural da curva interseção é
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad z(t)=2\cos t-2\sin t,
com t\in[0,2\pi).

Passo 4

Escrevendo em forma vetorial (útil na prova para representar curvas no espaço), temos
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;2\cos t-2\sin t\bigr).
Expliquei antes o domínio: t\in[0,2\pi) percorre a curva uma volta no sentido anti-horário visto do eixo z. A curva é fechada porque x,y formam o círculo; o valor de z reaparece periodicamente com período 2\pi.

Passo 5

Como bônus didático: você pode simplificar a expressão de z usando identidade de soma de cosseno. Note que
2\cos t-2\sin t=2(\cos t-\sin t).
Podemos escrever isso como amplitude vezes cosseno de um ângulo deslocado. Procuramos A e \varphi tais que
2\cos t-2\sin t = A\cos(t+\varphi).
Tomando A=2\sqrt{2} e \varphi=\pi/4 (pois A\cos\varphi=2 e A\sin\varphi=2), obtemos a forma equivalente
z(t)=2\sqrt{2}\cos\bigl(t+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Assim, outra escrita compacta da parametrização é
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;2\sqrt{2}\cos(t+\tfrac{\pi}{4})\bigr),\quad t\in[0,2\pi).

Resposta

x=\cos t,\; y=\sin t,\; z=2\cos t-2\sin t,\; t\in[0,2\pi)
ou, equivalentemente,
\mathbf{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;2\sqrt{2}\cos(t+\tfrac{\pi}{4})\bigr),\; t\in[0,2\pi)

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