Calcule as seguintes integrais:
integral cos ^4(2 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, a gente vai usar trigonometria, especificamente as fórmulas de redução de potência para funções cosseno. Vamos precisar simplificar a potência da função trigonométrica para conseguir integrar mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cos^2(x) = 1 + cos(2x)2 pode ser reescrito usando a fórmula de redução de potência:
Isso ajuda a diminuir a potência do cosseno para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, como temos cos^4(2t) = (1 + cos(4t)2)^2 , podemos escrever isso como . Aplicando a fórmula que vimos:
Vamos expandir esse quadrado para simplificar ainda mais.

Passo 4

Expandindo o quadrado:
(1 + cos(4t)2)^2 = 14(1 + 2cos(4t) + cos^2(4t))
Agora, temos termos que podemos integrar facilmente, mas ainda temos , que também precisa ser simplificada.

Passo 5

Aplicando novamente a fórmula de redução de potência para cos^2(4t) = 1 + cos(8t)2 :
cos^4(2t) = 14(1 + 2cos(4t) + 1 + cos(8t)2)
Substituindo isso na expressão anterior:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
cos^4(2t) = 14 (1 + 2cos(4t) + 12 + cos(8t)2)
= 14 (32 + 2cos(4t) + cos(8t)2)
= 38 + 12cos(4t) + 18cos(8t)

Passo 7

Agora que simplificamos a expressão, podemos integrar termo a termo:
integral cos^4(2t) , dt = integral (38 + 12cos(4t) + 18cos(8t)) dt
= 38 integral dt + 12 integral cos(4t) , dt + 18 integral cos(8t) , dt

Passo 8

Integrando cada termo:
38 integral dt = 38 t
12 integral cos(4t) , dt = 12 cdot sin(4t)4 = sin(4t)8
18 integral cos(8t) , dt = 18 cdot sin(8t)8 = sin(8t)64

Passo 9

Juntando tudo e adicionando a constante de integração:
integral cos^4(2t) , dt = 38 t + sin(4t)8 + sin(8t)64 + C

Resposta

integral cos^4(2t) , dt = 38 t + sin(4t)8 + sin(8t)64 + C

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