Calcule as seguintes integrais
integral x(x-1)^2(x^2+1) d x, sabendo que integral 1x^2+1 d x=arctg(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x(x-1)^2(x^2+1),dx
que é uma função racional. Vamos usar o método de frações parciais, decompondo
x(x-1)^2(x^2+1)
em somatório de termos simples cujas integrais conhecemos (p. ex. integral (x-1)^-2dx e integral (x^2+1)^-1dx).

Passo 2

Suponha a decomposição
x(x-1)^2(x^2+1) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx+Dx^2+1
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^2(x^2+1), obtemos o polinômio
x = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2

Passo 3

Expandimos e igualamos coeficientes. O resultado do sistema é
A=0, B=tfrac12, C=0, D=-tfrac12

Passo 4

Substituindo de volta, a fração parcial fica
x(x-1)^2(x^2+1) = 1/2(x-1)^2 ;-;1/2x^2+1
Logo a integral se separa em
integral x(x-1)^2(x^2+1),dx = 12 integral (x-1)^-2,dx ;-;12 integral 1x^2+1,dx

Passo 5

Agora integramos cada parte:
integral (x-1)^-2,dx = -1x-1, integral 1x^2+1,dx = arctg(x)
Portanto
integral x(x-1)^2(x^2+1),dx = 12l(-1x-1r) - 12,arctg(x) + C = -12(x-1) - 12,arctg(x) + C

Resposta

-12(x-1) ;-;12,arctg(x) + C

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