Exercício 13. Quando uma função não é diferenciável, um conceito que pode substituir o de diferenciabilidade é o de subdiferenciabilidade (ou superdiferenciabilidade). Dada uma função convexa
e
, o subdiferencial de
no ponto
é o conjunto
dos pontos
tais que
A desigualdade acima pode ser interpretada geometricamente como:
define um plano que está todo abaixo do gráfico de
e que toca no gráfico de
para
.
(i) Mostre que, dados
convexos, fechados e disjuntos, com um deles compacto, existe
e
tais que
Dica: Definir
. Com as nossas hipóteses, mostre que
é fechado, convexo e que
. Sendo fechado, minimizar
em
, obtendo um minimizante
em
. Sendo convexo,
.
(ii) Mostre que, se
é uma função convexa, então
para todo
.
Dica: Considerar
o epigráfico de
e
.
(iii) Mostre que
é diferenciável em
se, e somente se,
consiste de um ponto só. Neste último caso, deve ser
.