5.7I Resolva os seguintes problemas de valor inicial (p.v.i.). Nos problemas de segunda ordem use a substituição z=y^prime :
x y^prime+2 y=x^2 ; y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x,y' + 2,y = x^2, y(1)=0
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, que vamos resolver usando o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo por x (assumindo x>0):
y' + 2x,y = x
Aqui identificamos p(x)=tfrac2x e q(x)=x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=exp!l(integral p(x),dxr) =exp!l(integral 2x,dxr) =exp(2ln|x|) =x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^2:
x^2y' + 2x,y = x^3
O lado esquerdo é a derivada de x^2y, pois
ddx(x^2y)=2x,y + x^2y'

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
x^2y = integral x^3,dx = x^44 + C

Passo 6

Isolamos y e aplicamos y(1)=0:
y=x^44x^2 + Cx^2 =x^24 + Cx^2, 0 = y(1)=14 + C ;Longrightarrow; C=-14

Passo 7

Substituindo C em y:
y(x)=x^24 - 14x^2 =x^4-14x^2

Resposta

y(x)=x^4-14x^2

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