Seja f uma função derivável, definida para x>0, tal que 2 x f^prime(x)-raiz[3]x=1 e f(1)=3. Calcule f(8).

Passo 1

Temos uma função derivável definida para x>0 que satisfaz a equação 2x f'(x) - x^1/3 = 1 e f(1)=3. O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial de primeira ordem simples, isolando f'(x) e depois integrando para encontrar f(x).

Passo 2

Isolando f'(x):
2x f'(x) = 1 + x^1/3
f'(x) = 1 + x^1/32x = 12x + x^1/32x = 12x + 12x^-2/3

Passo 3

Integrando para obter f(x):
f(x) = integral f'(x),dx = integral l(12x + 12x^-2/3r)dx = 12integral dxx + 12integral x^-2/3dx = 12ln x + 12cdot x^1/3tfrac13 + C = 12ln x + 32x^1/3 + C

Passo 4

Aplicando a condição inicial f(1)=3:
12ln 1 + 32cdot1 + C = 3

Passo 5

Como ln 1=0, temos tfrac32+C=3 então C=tfrac32. Assim
f(x) = 12ln x + 32x^1/3 + 32

Passo 6

Calculando f(8):
f(8) = 12ln 8 + 32cdot8^1/3 + 32 = 12ln 8 + 3 + 32 = 12ln 8 + 92

Passo 7

Como ln 8 = 3ln 2, podemos escrever
f(8) = 32ln 2 + 92

Resposta

f(8) = 9 + 3ln 22.

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