Encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.
f(x)=xx+2,
[1.4]

Passo 1

Aqui a tarefa é aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) na função f(x)=xx+2 no intervalo [1,4]. Precisamos encontrar algum cin(1,4) tal que f'(c)=dfracf(4)-f(1)4-1.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do TVM: f(x) é racional e só dá problema em x=-2, que não está em [1,4]. Logo, f é contínua em [1,4] e derivável em (1,4).

Passo 3

Calculamos os valores de f nas extremidades e a taxa média de variação. Primeiro,
f(1)=11+2=13, f(4)=44+2=23

Passo 4

Então a taxa média é
f(4)-f(1)4-1=2/3-1/33=1/33=19

Passo 5

Agora derivamos f(x) usando a regra do quociente:
f'(x)=(1)(x+2)-x(1)(x+2)^2=x+2-x(x+2)^2=2(x+2)^2

Passo 6

Igualamos f'(c) à taxa média e resolvemos:
2(c+2)^2=19implies (c+2)^2=18implies c+2=pm3raiz2implies c=-2pm3raiz2

Passo 7

Dessas soluções, apenas c=-2+3raiz2approx2.24 está no intervalo (1,4).

Resposta

c=-2+3raiz2

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