Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma sequência de termos em que cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior por uma razão fixa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar essa série pra facilitar o entendimento. Observe que o expoente é
, então podemos reescrever a série começando de
como:
A gente fez uma mudança de variável aqui para deixar mais simples, chamando
.
Passo 3
Agora, essa série é uma série geométrica, onde cada termo é
. Numa série geométrica da forma
, a gente precisa verificar o valor de
para saber se a série converge ou diverge.
Passo 4
A regra é simples:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge.
No nosso caso,
, que claramente é menor que 1 (pois
). Então, a série converge.
Passo 5
Como a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Onde:
-
é o primeiro termo da série. -
é a razão da série.
No nosso caso, o primeiro termo quando
é
. Então:
Resposta
A série converge e a soma é igual a
.