Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma: sumk=3^infty(34)^k-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série sumk=3^infty(34)^k-2 converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular a soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica, que é uma sequência de termos em que cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior por uma razão fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar essa série pra facilitar o entendimento. Observe que o expoente é k-2, então podemos reescrever a série começando de k=3 como:
sumk=3^infty(34)^k-2 = sumj=1^infty(34)^j
A gente fez uma mudança de variável aqui para deixar mais simples, chamando j = k - 2.

Passo 3

Agora, essa série é uma série geométrica, onde cada termo é (34)^j. Numa série geométrica da forma sumj=1^infty r^j, a gente precisa verificar o valor de r para saber se a série converge ou diverge.

Passo 4

A regra é simples:
  • Se |r| < 1, a série converge.
  • Se |r| >= 1, a série diverge.
No nosso caso, r = 34, que claramente é menor que 1 (pois |34| = 0,75 < 1). Então, a série converge.

Passo 5

Como a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão da série.
No nosso caso, o primeiro termo quando j=1 é (34)^1 = 34. Então:
S = 341 - 34 = 3414 = 3

Resposta

A série converge e a soma é igual a 3.

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