Um campo vetorial v: U subset R^n R^n é conservativo se v=nabla f para alguma função a valores reais f: U R. Para os campos bidimensionais abaixo, diga se são conservativos ou não. Em caso afirmativo, determine f tal que v=nabla f.
v(x, y)=(x^3 y+3 y^2) i+(x^44-x y) j

Passo 1

Vamos lá! Temos um campo vetorial bidimensional dado por
v(x, y) = (x^3 y + 3 y^2) i + (x^44 - x y) j
Nosso objetivo é verificar se esse campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se puder ser escrito como o gradiente de alguma função escalar $ f(x, y) $, ou seja, $ \overrightarrow{\mathbf{v}} = \nabla f $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teste de conservatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial. Temos:
P(x, y) = x^3 y + 3 y^2 e Q(x, y) = x^44 - x y
Para verificar se o campo é conservativo, precisamos conferir se as derivadas parciais misturadas são iguais, ou seja, se:
partial Ppartial y = partial Qpartial x

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
partial Ppartial y
Agora, calculamos $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
partial Ppartial y = partialpartial y (x^3 y + 3 y^2) = x^3 + 6 y

Passo 4

Comparamos as duas derivadas obtidas:
partial Ppartial y = x^3 + 6 y e partial Qpartial x = x^3 - y
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais para todos os pontos $ (x, y) $ no domínio considerado.

Passo 5

Observamos que:
x^3 + 6 y neq x^3 - y a menos que 6 y = - y
A última equação só é verdadeira quando $ y = 0 $, mas isso é apenas uma linha e não todo o domínio. Portanto, as derivadas parciais não são iguais em geral.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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