Um campo vetorial
é conservativo se
para alguma função a valores reais
. Para os campos bidimensionais abaixo, diga se são conservativos ou não. Em caso afirmativo, determine
tal que
.
Passo 1
Vamos lá! Temos um campo vetorial bidimensional dado por
Nosso objetivo é verificar se esse campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se puder ser escrito como o gradiente de alguma função escalar $ f(x, y) $, ou seja, $ \overrightarrow{\mathbf{v}} = \nabla f $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o teste de conservatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial. Temos:
Para verificar se o campo é conservativo, precisamos conferir se as derivadas parciais misturadas são iguais, ou seja, se:
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
Agora, calculamos $ \frac{\partial Q}{\partial x} $:
Passo 4
Comparamos as duas derivadas obtidas:
Para que o campo seja conservativo, essas duas expressões devem ser iguais para todos os pontos $ (x, y) $ no domínio considerado.
Passo 5
Observamos que:
A última equação só é verdadeira quando $ y = 0 $, mas isso é apenas uma linha e não todo o domínio. Portanto, as derivadas parciais não são iguais em geral.
Resposta
O campo vetorial não é conservativo.