Determine o valor dos seguintes limites, quando existirem.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado pede para calcular seis limites de funções de duas ou três variáveis quando se aproximam da origem. O conteúdo envolve limite de funções multivariáveis, uso de continuidade, teorema do confronto e análise por caminhos.
Passo 2
Para o item a), observe que o denominador é contínuo e vale 1 em (0,0), enquanto o numerador tende a 0. Logo, o limite é 0.
Passo 3
Para o item b), teste caminhos diferentes. Por exemplo, em y=0 a função fica x/(x^2)=1/x, que não se aproxima de valor finito quando x→0, mostrando que o limite não existe.
Passo 4
No item c), escolha x=y. Nesse caso a expressão vale 1, e ao escolher x=0 ela vale 0. Como dá valores distintos, o limite não existe.
Passo 5
No item d), use o teorema do confronto. Como |sin(1/(xy))|≤1, temos |(x2+y2) sin(1/(xy))|≤x2+y2 que vai a zero, logo o limite é 0.
Passo 6
No item e), de modo análogo, |x^2 sin(y/x)|≤x^2 e x^2→0 conforme (x,y)→(0,0), então o limite é 0.
Passo 7
No item f), trata-se de quociente de formas lineares. Ao aproximar por (x,y,z)=t(a,b,c) vê-se que o valor limite seria (4a−b−3c)/(2a−5b+2c), que depende de (a,b,c). Portanto, o limite não existe.
Resposta
a) 0
b) não existe
c) não existe
d) 0
e) 0
f) não existe
b) não existe
c) não existe
d) 0
e) 0
f) não existe