Calcule as seguintes integrais.
integral(-3 csc ^2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral da função -3 csc^2 x em relação a x. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as fórmulas de integração das funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que csc x é a função cotangente complementar, ou seja, csc x = 1sin x. A função csc^2 x é uma das derivadas que conhecemos bem, especialmente relacionada à derivada da cotangente.

Passo 3

Sabemos que a derivada da cotangente é ddx (cot x) = -csc^2 x. Isso é importante porque, na integração, estamos fazendo o processo inverso da diferenciação. Então, se derivar a cotangente nos dá -csc^2 x, integrar -csc^2 x deve nos dar a cotangente mais uma constante de integração.

Passo 4

Considerando o coeficiente -3 que está multiplicando csc^2 x, precisamos lembrar que, ao integrar uma constante multiplicando uma função, podemos fatorar a constante para fora da integral. Então, temos:
integral (-3 csc^2 x) dx = -3 integral csc^2 x , dx

Passo 5

Agora, usamos a informação que a integral de csc^2 x é -cot x. Portanto:
-3 integral csc^2 x , dx = -3 ( -cot x ) + C

Passo 6

Simplificando os sinais, temos:
-3 ( -cot x ) = 3 cot x

Resposta

Portanto, a integral de -3 csc^2 x em relação a x é:
3 cot x + C

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