Resolva a equação diferencial.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! Estamos lidando com uma equação que envolve derivadas, então o conteúdo está relacionado a Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver, vamos precisar entender como manipular a equação para isolar
e encontrar uma solução que descreva
em função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de uma forma mais fácil de trabalhar:
Nosso objetivo aqui é isolar
. Para isso, vamos mover o termo
para o outro lado da igualdade:
Passo 3
Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por
para isolar
:
Podemos simplificar o denominador fatorando
:
Passo 4
Observamos que a equação pode ser rearranjada para facilitar a separação das variáveis
e
. Vamos reescrever a equação:
Podemos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por $ \frac{x(y + 3)}{y} $:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Antes disso, simplificamos a fração do lado esquerdo:
Portanto, a equação se torna:
Integrando ambos os lados:
Passo 6
Vamos calcular as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Igualando as integrais:
Passo 7
Podemos simplificar as constantes
e
em uma única constante
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.