Resolva a equação diferencial.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! Estamos lidando com uma equação que envolve derivadas, então o conteúdo está relacionado a Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver, vamos precisar entender como manipular a equação para isolar dydx e encontrar uma solução que descreva y em função de x.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de uma forma mais fácil de trabalhar:
2y + (x y + 3x) dydx = 0
Nosso objetivo aqui é isolar dydx. Para isso, vamos mover o termo 2y para o outro lado da igualdade:
(x y + 3x) dydx = -2y

Passo 3

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por x y + 3x para isolar dydx:
dydx = -2yx y + 3x
Podemos simplificar o denominador fatorando x:
dydx = -2yx(y + 3)

Passo 4

Observamos que a equação pode ser rearranjada para facilitar a separação das variáveis y e x. Vamos reescrever a equação:
dydx = -2yx(y + 3)
Podemos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por $ \frac{x(y + 3)}{y} $:
x(y + 3)y

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Antes disso, simplificamos a fração do lado esquerdo:
y + 3y = 1 + 3y
Portanto, a equação se torna:
(1 + 3y) dy = -2x dx
Integrando ambos os lados:
integral (1 + 3y) dy = integral -2x dx

Passo 6

Vamos calcular as integrais:
Do lado esquerdo:
integral 1 , dy + integral 3y , dy = y + 3 ln |y| + C1
Do lado direito:
integral -2x , dx = -2 ln |x| + C2
Igualando as integrais:
y + 3 ln |y| + C1 = -2 ln |x| + C2

Passo 7

Podemos simplificar as constantes C1 e C2 em uma única constante C:
y + 3 ln |y| = -2 ln |x| + C
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y + 3 ln |y| = -2 ln |x| + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados