Calcule as seguintes integrais:
integral d xx^5 raiz9 x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dxx^5raiz9x^2-1. O conteúdo é técnicas de integração por substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição adequada para eliminar a raiz raiz9x^2-1.

Passo 2

Escolhemos a substituição trigonométrica 3x=sectheta, ou seja, x=sectheta3. Então
dx=13secthetatantheta,dtheta,
e
raiz9x^2-1=raizsec^2theta-1=tantheta

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral dxx^5raiz9x^2-1=integral 13secthetatantheta,dthetal(sectheta3r)^5,tantheta =81integralcos^4theta,dtheta

Passo 4

Para integrar cos^4theta, usamos a identidade de redução:
cos^4theta=l(1+cos2theta2r)^2=38+12cos2theta+18cos4theta

Passo 5

Assim
integralcos^4theta,dtheta=integrall(38+12cos2theta+18cos4thetar)dtheta =38theta+14sin2theta+132sin4theta+C

Passo 6

Voltando para x, como , theta=arcsec(3x) e sintheta=raiz9x^2-13x, podemos mostrar que
costheta=13x

Passo 7

Substituindo e simplificando os termos, obtemos a forma final.

Resposta

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