Nos itens abaixo escreva em coordenadas retangulares as integrais dadas em coordenadas esféricas.
.
Passo 1
A questão dá a integral em coordenadas esféricas
O conteúdo é mudança de coordenadas esféricas para retangulares. Vamos precisar das fórmulas
Passo 2
Para determinar a região em retangulares, note:
–
significa
.
– cobre apenas a metade do plano XY (onde
), mas o fator 2 dobra essa região, resultando em todo o semiespaço
.
– dá a bola de raio 3.
–
–
Logo, em retangulares a região é
Passo 3
Para passar o integrando, usamos
Além disso
e
.
Substituindo no integrando:
Passo 4
Portanto a integral em coordenadas retangulares fica
onde
Passo 5
Se preferir com limites explícitos:
Resposta
Em retangulares: