Nos itens abaixo escreva em coordenadas retangulares as integrais dadas em coordenadas esféricas.
I=2 integral0^pi integral0^pi2 integral0^3 raiz9-rho^2 sin phi d rho d phi d theta.

Passo 1

A questão dá a integral em coordenadas esféricas
I = 2 integral0^pi integral0^pi2 integral0^3 raiz9 - rho^2,sinphi,drho,dphi,dtheta
O conteúdo é mudança de coordenadas esféricas para retangulares. Vamos precisar das fórmulas
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi, e dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 2

Para determinar a região em retangulares, note:
0<=phi<=tfracpi2 significa z=rhocosphi>=0.
0<=theta<=pi cobre apenas a metade do plano XY (onde y>=0), mas o fator 2 dobra essa região, resultando em todo o semiespaço z>=0.
0<=rho<=3 dá a bola de raio 3.
Logo, em retangulares a região é
R = (x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<=9, z>=0

Passo 3

Para passar o integrando, usamos
sinphi,drho,dphi,dtheta = dVrho^2 = d x,d y,d zx^2+y^2+z^2
Além disso rho=raizx^2+y^2+z^2 e raiz9-rho^2=raiz9-(x^2+y^2+z^2).
Substituindo no integrando:
raiz9-rho^2,sinphi,drho,dphi,dtheta = raiz9-(x^2+y^2+z^2)x^2+y^2+z^2,d x,d y,d z

Passo 4

Portanto a integral em coordenadas retangulares fica
I = 2 integral triplaR raiz9-(x^2+y^2+z^2)x^2+y^2+z^2,d x,d y,d z,
onde
R = (x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<=9, z>=0

Passo 5

Se preferir com limites explícitos:
I = 2 integralx=-3^3 integraly=-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integralz=0^raiz9-x^2-y^2 raiz9 - (x^2+y^2+z^2)x^2+y^2+z^2,d z,d y,d x

Resposta

Em retangulares:
I = 2 integral triplax^2+y^2+z^2<=9,,z>=0 raiz9 - (x^2+y^2+z^2)x^2+y^2+z^2,d x,d y,d z

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