Represente geometricamente o sólido cuja massa é descrita, em coordenadas cilíndricas, pela expressão . A seguir, reescreva esta expressão utilizando um outro sistema de coordenadas.
Passo 1
O enunciado dá a massa de um sólido em coordenadas cilíndricas por
Precisamos identificar o sólido e depois reescrever essa integral num outro sistema de coordenadas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas o sólido é
Ou seja, é o volume entre os paraboloides (abre para cima) e (abre para baixo) até a circunferência de raio , formando um “sólido de maçã”.
Passo 3
Para simplificar a integral, introduzimos coordenadas parabólicas
Inversamente,
Nesse sistema, as superfícies ficam constantes: (de ) e (de ).
Passo 4
Calculamos o jacobiano. Como
e lembrando que o elemento de volume em cilíndricas é dV=r,dr,dz,dtheta, temos