Represente geometricamente o sólido cuja massa é descrita, em coordenadas cilíndricas, pela expressão M=integral0^2 pi integral0^raiz2 integralr^2^4-r^2 raiz4+r^2-z d z d r d theta. A seguir, reescreva esta expressão utilizando um outro sistema de coordenadas.

Passo 1

O enunciado dá a massa de um sólido em coordenadas cilíndricas por
M=integral0^2piintegral0^raiz2integralz=r^2^z=4-r^2raiz4+r^2-z,dz,r,dr,dtheta
Precisamos identificar o sólido e depois reescrever essa integral num outro sistema de coordenadas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o sólido é
0<=theta<=2pi, 0<= r<=raiz2, r^2<= z<=4-r^2
Ou seja, é o volume entre os paraboloides z=r^2 (abre para cima) e z=4-r^2 (abre para baixo) até a circunferência de raio raiz2, formando um “sólido de maçã”.

Passo 3

Para simplificar a integral, introduzimos coordenadas parabólicas
u = z + r^2, v = z - r^2, theta=theta
Inversamente,
r^2=u-v2, z=u+v2
Nesse sistema, as superfícies ficam constantes: v=0 (de z=r^2) e u=4 (de z=4-r^2).

Passo 4

Calculamos o jacobiano. Como
dr,dz = l|partial(r,z)partial(u,v)r|,du,dv = 14r,du,dv,
e lembrando que o elemento de volume em cilíndricas é dV=r,dr,dz,dtheta, temos
dV = r,dr,dz,dtheta = 14,du,dv,dtheta
Além disso,
4+r^2-z = 4 - v

Passo 5

Por fim, o domínio em (u,v,theta) é
0<=theta<=2pi, 0<= v<= u<=4,
e a integral reescrita fica:

Resposta

M=integral0^2piintegral0^4integral0^u14raiz4-v,dv,du,dtheta

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