Seja
o sólido delimitado pelas superfícies
e
. Determine o valor de
para que a massa de
seja igual a
, sabendo que a densidade em cada ponto de
é dada por
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: temos o sólido S limitado por z=0, pelo cilindro x²+y²=a² e pela parábola z=x²+y², e queremos achar o valor de a tal que a massa de S, com densidade f(x,y,z)=1/√(1+(x²+y²)²), valha π(√82−1). O conteúdo principal aqui envolve integração tripla em coordenadas cilíndricas e uso de substituição para calcular a integral.
Passo 2
Na prática, para usar coordenadas cilíndricas definimos x= r
cósθ, y= r
sinθ e z= z. As variáveis variam em θ∈[0,2π], r∈[0,a] e z∈[0,r²]. O elemento de volume é dV= r
dz
dr
dθ e a densidade fica f = 1/√(1+r⁴). Assim a massa é
cósθ, y= r
sinθ e z= z. As variáveis variam em θ∈[0,2π], r∈[0,a] e z∈[0,r²]. O elemento de volume é dV= r
dz
dr
dθ e a densidade fica f = 1/√(1+r⁴). Assim a massa é
Passo 3
Integrando primeiro em z temos ∫₀^{r²}dz= r², então
Passo 4
Para calcular I=∫₀^{a}r³/√(1+r⁴)dr fazemos a substituição u=1+r⁴, du=4r³dr, logo r³dr=du/4. Assim
Passo 5
Portanto a massa é
Passo 6
Impondo m(a)=π(√82−1) obtemos √(1+a⁴)−1 = √82−1, isto é √(1+a⁴)=√82, logo 1+a⁴=82 e a⁴=81. Como a≥0 temos a=3.
Resposta
3