Seja S o sólido delimitado pelas superfícies z=0, x^2+y^2=a^2 e z=x^2+y^2. Determine o valor de a in R para que a massa de S seja igual a pi(raiz82-1), sabendo que a densidade em cada ponto de S é dada por f(x, y, z)=1raiz1+(x^2+y^2)^2.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: temos o sólido S limitado por z=0, pelo cilindro x²+y²=a² e pela parábola z=x²+y², e queremos achar o valor de a tal que a massa de S, com densidade f(x,y,z)=1/√(1+(x²+y²)²), valha π(√82−1). O conteúdo principal aqui envolve integração tripla em coordenadas cilíndricas e uso de substituição para calcular a integral.

Passo 2

Na prática, para usar coordenadas cilíndricas definimos x= r
cósθ, y= r
sinθ e z= z. As variáveis variam em θ∈[0,2π], r∈[0,a] e z∈[0,r²]. O elemento de volume é dV= r
dz
dr
dθ e a densidade fica f = 1/√(1+r⁴). Assim a massa é
m(a)=integral triplaSf,dV=integral0^2piintegral0^aintegral0^r^2rraiz1+r^4,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integrando primeiro em z temos ∫₀^{r²}dz= r², então
m(a)=2piintegral0^ar^3raiz1+r^4,dr

Passo 4

Para calcular I=∫₀^{a}r³/√(1+r⁴)dr fazemos a substituição u=1+r⁴, du=4r³dr, logo r³dr=du/4. Assim
I=14integralu=1^1+a^4u^-1/2du=14cdot2l(raizur)|1^1+a^4=12(raiz1+a^4-1)

Passo 5

Portanto a massa é
m(a)=2pi I=pil(raiz1+a^4-1r)

Passo 6

Impondo m(a)=π(√82−1) obtemos √(1+a⁴)−1 = √82−1, isto é √(1+a⁴)=√82, logo 1+a⁴=82 e a⁴=81. Como a≥0 temos a=3.

Resposta

3

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