Calcule as seguintes integrais:
onde
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla
, onde
é a região definida por
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, já que a região
é um anel circular. Precisamos converter a integral para polar e aplicar as fórmulas apropriadas.
Passo 2
Em coordenadas polares, as relações são:
Além disso, a expressão
se torna
e o elemento de área
se transforma em
.
Passo 3
Substituindo na integral original, temos:
Aqui, os limites de
vão de 1 a 2 porque
, ou seja,
.
Passo 4
Primeiro, resolvemos a integral interna em
:
Passo 5
Agora, integramos em
:
Simplificando a fração, temos
.
Resposta
O valor da integral é
.