Calcule as seguintes integrais:
integral duplaB(x^2+y^2) d x d y onde B=(x, y) in R^2 mid 1 <= x^2+y^2 >= 4

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla , onde é a região definida por . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, já que a região é um anel circular. Precisamos converter a integral para polar e aplicar as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Em coordenadas polares, as relações são:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, a expressão se torna e o elemento de área se transforma em .

Passo 3

Substituindo na integral original, temos:
integral duplaB(x^2+y^2) , dx , dy = integral0^2pi integral1^2 r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral1^2 r^3 , dr , dtheta
Aqui, os limites de vão de 1 a 2 porque , ou seja, .

Passo 4

Primeiro, resolvemos a integral interna em integral1^2 r^3 , dr = [ r^44 ]1^2 = 2^44 - 1^44 = 164 - 14 = 4 - 0,25 = 3,75 :

Passo 5

Agora, integramos em integral0^2pi 3,75 , dtheta = 3,75 cdot (2pi - 0) = 7,5pi :
Simplificando a fração, temos .

Resposta

O valor da integral é .

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