Determine a equação do plano tangente à superfície
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto
. Isso está relacionado ao estudo de superfícies em cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para encontrar o plano que “encosta” na superfície naquele ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de forma que tudo fique igual a zero. Isso facilita na hora de calcular as derivadas:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções dos eixos correspondentes.
Passo 4
Vamos agora avaliar essas derivadas parciais no ponto dado
:
Passo 5
Com as derivadas avaliadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Distribuindo os termos:
Juntando termos semelhantes:
Passo 7
Podemos deixar a equação mais “limpa” multiplicando todos os termos por -1:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: