Determine a equação do plano tangente à superfície x^2 y z+3 y^2=2 x z^2+6 z no ponto (-1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Isso está relacionado ao estudo de superfícies em cálculo multivariável, onde usamos derivadas parciais para encontrar o plano que “encosta” na superfície naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de forma que tudo fique igual a zero. Isso facilita na hora de calcular as derivadas:
F(x, y, z) = x^2 y z + 3 y^2 - 2 x z^2 - 6 z = 0

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de Fx = partial Fpartial x = 2 x y z - 2 z^2 em relação a Fy = partial Fpartial y = x^2 z + 6 y , Fz = partial Fpartial z = x^2 y - 4 x z - 6 e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções dos eixos correspondentes.

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas parciais no ponto dado Fx(-1, 1, 1) = 2(-1)(1)(1) - 2(1)^2 = -2 - 2 = -4 :
Fy(-1, 1, 1) = (-1)^2(1) + 6(1) = 1 + 6 = 7
Fz(-1, 1, 1) = (-1)^2(1) - 4(-1)(1) - 6 = 1 + 4 - 6 = -1

Passo 5

Com as derivadas avaliadas, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Fx(x0, y0, z0)(x - x0) + Fy(x0, y0, z0)(y - y0) + Fz(x0, y0, z0)(z - z0) = 0
Substituindo os valores que encontramos:
-4(x - (-1)) + 7(y - 1) -1(z - 1) = 0

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
-4(x + 1) + 7(y - 1) - (z - 1) = 0
Distribuindo os termos:
-4x - 4 + 7y - 7 - z + 1 = 0
Juntando termos semelhantes:
-4x + 7y - z - 10 = 0

Passo 7

Podemos deixar a equação mais “limpa” multiplicando todos os termos por -1:
4x - 7y + z + 10 = 0

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto 4x - 7y + z + 10 = 0 é:

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