Resolva a equação do calor ou da onda dada. Em todos os casos, assuma e . .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação do calor que você me mandou. O que temos aqui é uma equação diferencial parcial que descreve como o calor se distribui ao longo do tempo e do espaço. Basicamente, queremos saber como a temperatura $ u(x, t) $ varia em função da posição $ x $ e do tempo $ t u(x, t) çõçã erf $) que aparece nas soluções da equação do calor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
ut = 1100 uxx
Aqui, $ u_{t} $ representa a derivada da temperatura em relação ao tempo, e $ u_{xx} $ é a segunda derivada da temperatura em relação à posição. Essa é a famosa equação do calor, que modela a difusão de calor em um meio.
Passo 3
O próximo passo é considerar as condições iniciais que nos foram dadas. A temperatura inicial $ u(x, 0) $ é definida da seguinte forma:
u(x, 0)
Isso significa que, no tempo inicial $ t = 0 $, a temperatura é 100 dentro do intervalo u(x, 0) = 100, & se |x| <= 1, 0, & se |x| > 1 e 0 fora desse intervalo.
Passo 4
Para resolver a equação do calor com essas condições iniciais, usamos a solução fundamental do problema, que envolve a função erro ($ erf $). A solução geral para $ u(x, t) $ é dada por:
erf
No nosso caso, $ k = \frac{1}{100} $, então a fórmula se adapta para:
u(x, t)
Passo 5
Vamos simplificar essa integral. Primeiro, observe que o termo $ \frac{4t}{100} $ no denominador do expoente pode ser simplificado para $ \frac{t}{25} $. Então, a expressão fica:
4t100
Simplificando mais:
t25
Passo 6
Agora, fazemos uma mudança de variável para facilitar a integral. Vamos definir:
z = 5(x - y)raizt
Dessa forma, a integral em termos de $ z $ se transforma na função erro ($ erf $). Após transformar e calcular a integral, obtemos: