Calcule as seguintes integrais:
, onde
Passo 1
A questão pede para calcular a integral dupla
, onde
é o disco de raio 1 centrado na origem. O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas polares e uso do jacobiano para resolver integrais duplas.
Passo 2
Em coordenadas polares usamos
,
e o elemento de área vira
. O disco
fica descrito por
e
. Assim a integral vira
Passo 3
O integral se separa em parte angular e radial. A parte angular dá
. Para a parte radial, fazemos a substituição
, o que implica
ou
. Os limites vão de
até
. Então
Passo 4
Multiplicando pela parte angular, o valor total da integral é