Calcule as seguintes integrais:
integral duplaD e^x^2+y^2 d x d y, onde D=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaD e^x^2+y^2,dx,dy, onde D é o disco de raio 1 centrado na origem. O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas polares e uso do jacobiano para resolver integrais duplas.

Passo 2

Em coordenadas polares usamos x=rcostheta, y=rsintheta e o elemento de área vira dx,dy = r,dr,dtheta. O disco D fica descrito por 0<= r<=1 e 0<= theta<=2pi. Assim a integral vira
integral duplaD e^x^2+y^2,dx,dy = integral0^2pi integral0^1 e^r^2,r,dr,dtheta

Passo 3

O integral se separa em parte angular e radial. A parte angular dá integral0^2pi dtheta = 2pi. Para a parte radial, fazemos a substituição u=r^2, o que implica du=2r,dr ou r,dr=du/2. Os limites vão de u(0)=0 até u(1)=1. Então
integral0^1 e^r^2,r,dr = 12 integral0^1 e^u,du = 12 l[e^ur]0^1 = 12 (e-1)

Passo 4

Multiplicando pela parte angular, o valor total da integral é
2pi times 12 (e-1) = pi,(e-1)

Resposta

pi,(e-1)

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