Calcule as seguintes integrais:
, onde
é a região triangular limitada pelas curvas
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é o triângulo definido por
,
e
. O conteúdo principal é «integrais duplas» e vamos precisar entender bem como montar os limites de integração a partir da descrição da região.
Passo 2
Para visualizar a região, note que as retas
e
são os eixos coordenados, e a reta
intercepta os eixos em
e
. Então
varia de 0 até 6, e para cada
fixo,
vai de 0 até
.
Passo 3
Com isso, a integral dupla vira uma integral iterada:
Passo 4
Vamos primeiro integrar em relação a
, tratando
como constante:
Passo 5
Agora substituímos esse resultado e integramos em
:
Calculando:
Somando dá
, e com o
fica
.
Resposta
54