Calcule as seguintes integrais:
integral duplaT x y d A, onde T é a região triangular limitada pelas curvas y=6-x, x=0 e y=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaT x y ,dA, onde T é o triângulo definido por x=0, y=0 e y=6-x. O conteúdo principal é «integrais duplas» e vamos precisar entender bem como montar os limites de integração a partir da descrição da região.

Passo 2

Para visualizar a região, note que as retas x=0 e y=0 são os eixos coordenados, e a reta y=6-x intercepta os eixos em (0,6) e (6,0). Então x varia de 0 até 6, e para cada x fixo, y vai de 0 até 6-x.

Passo 3

Com isso, a integral dupla vira uma integral iterada:
integral duplaT x y ,dA = integralx=0^6 l(integraly=0^6-x x y ,dyr) dx

Passo 4

Vamos primeiro integrar em relação a y, tratando x como constante:
integraly=0^6-x x y ,dy = x integral0^6-x y ,dy = x [y^22]0^6-x = x (6-x)^22

Passo 5

Agora substituímos esse resultado e integramos em x:
integral0^6 x(6-x)^22 ,dx = 12 integral0^6 (36x -12x^2 + x^3) ,dx
Calculando:
integral0^6 36x ,dx = 648, integral0^6 (-12x^2) ,dx = -864, integral0^6 x^3 ,dx = 324
Somando dá 648 -864 +324 = 108, e com o tfrac12 fica 54.

Resposta

54

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