Use a integral dupla para calcular a área limitada pelas seguintes curvas:
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área limitada pelas curvas
e
usando integral dupla. O conteúdo principal é reconhecimento das regiões definidas por essas parábolas transpostas e simetria do problema — vamos usar integração em
para depois integrar em
.
Passo 2
Primeiro, encontramos os pontos de interseção das duas curvas. Igualamos as expressões de
:
Multiplicando por 2:
Logo
Substituindo em
ou em
, obtemos
, ou seja, pontos de interseção em
.
Passo 3
Para
, compare
e
: fica
. Isso mostra que, para cada
entre
e
, a região consiste de dois “lóbulo” simétricos (um à direita e outro à esquerda do eixo
).
No lóbulo direito, varia de
No lóbulo direito,
até
No lóbulo esquerdo,
varia de
até
Passo 4
Portanto, a área total é
Observe que cada largura (direito ou esquerdo) é igual a
então o integrando somando os dois lados é
Assim
Passo 5
Agora integramos:
Avaliaremos de
a
: