Use a integral dupla para calcular a área limitada pelas seguintes curvas:
|x|=y^2 e 2|x|=y^2+4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área limitada pelas curvas |x| = y^2 e 2|x| = y^2 + 4 usando integral dupla. O conteúdo principal é reconhecimento das regiões definidas por essas parábolas transpostas e simetria do problema — vamos usar integração em y para depois integrar em x.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção das duas curvas. Igualamos as expressões de |x|:
y^2 = y^2 + 42
Multiplicando por 2:
2y^2 = y^2 + 4
Logo
y^2 = 4 implies y = pm 2
Substituindo em |x| = y^2 ou em |x| = tfracy^2+42, obtemos |x| = 4, ou seja, pontos de interseção em (pm4, pm2).

Passo 3

Para |y| <=2, compare y^2 e (y^2+4)/2: fica y^2 <= (y^2+4)/2. Isso mostra que, para cada y entre -2 e 2, a região consiste de dois “lóbulo” simétricos (um à direita e outro à esquerda do eixo y).
No lóbulo direito, x varia de
x = y^2
até
x = y^2 + 42
No lóbulo esquerdo, x varia de
x = -y^2 + 42
até
x = -y^2

Passo 4

Portanto, a área total é
A = integraly=-2^2l[l(tfracy^2+42 - y^2r) + l(-y^2 - (-tfracy^2+42)r)r],dy
Observe que cada largura (direito ou esquerdo) é igual a
y^2 + 42 - y^2 = 4 - y^22,
então o integrando somando os dois lados é
4 - y^22 + 4 - y^22 = 4 - y^2
Assim
A = integral-2^2 (4 - y^2),dy

Passo 5

Agora integramos:
integral (4 - y^2),dy = 4y - y^33
Avaliaremos de -2 a 2:
A = l[4y - tfracy^33r]-2^2 = l(8 - tfrac83r) - l(-8 + tfrac83r) = 16 - tfrac163 = tfrac323

Resposta

dfrac323

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