Se
, então
.
Passo 1
O enunciado afirma que se
então
. O conteúdo principal aqui é limite de sequência e subsequência, e vamos precisar usar a definição epsilon–N de limite de sequência.
Passo 2
Pela definição de limite, para todo
existe
tal que para todo
vale
Passo 3
Para tratar da subsequência
, queremos garantir que o índice
seja grande o suficiente. Escolhemos um
tal que
. Por exemplo, podemos tomar
Assim, se
então
.
Passo 4
Logo, para
temos
e assim
mostrando que
.