Se lim n infty an=L, então lim n infty a2 n+1=L.

Passo 1

O enunciado afirma que se limntoinftyan = L então limntoinftya2n+1 = L. O conteúdo principal aqui é limite de sequência e subsequência, e vamos precisar usar a definição epsilon–N de limite de sequência.

Passo 2

Pela definição de limite, para todo varepsilon>0 existe NinN tal que para todo n>= N vale
|an - L| < varepsilon

Passo 3

Para tratar da subsequência a2n+1, queremos garantir que o índice 2n+1 seja grande o suficiente. Escolhemos um MinN tal que 2M+1 >= N. Por exemplo, podemos tomar
M = lceilN-12rceil
Assim, se n>= M então 2n+1 >= 2M+1 >= N.

Passo 4

Logo, para n>= M temos 2n+1>= N e assim
|a2n+1 - L| < varepsilon,
mostrando que limntoinftya2n+1 = L.

Resposta

limntoinftya2n+1 = L.

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