Calcule as seguintes integrais:
integral duplaD(x+y) d x d y, onde D=(x, y) in R^2 / x^2+y^2-2 y <= 0

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral duplaD(x+y),dx,dy,
onde
D=(x,y)inR^2mid x^2+y^2-2y<=0
Reescrevendo a desigualdade, temos
x^2+y^2-2y<=0 ;Long<=ftrightarrow; x^2+(y-1)^2<=1,
ou seja, D é o disco de raio 1 centrado em (0,1). Vamos usar simetria e propriedades de centroides para avaliar a integral.

Passo 2

Separemos
integral duplaD(x+y),dx,dy =integral duplaDx,dx,dy+integral duplaDy,dx,dy
Como D é simétrico em relação ao eixo y, a função x é ímpar nesse eixo e, portanto,
integral duplaDx,dx,dy=0

Passo 3

Para integral duplaDy,dx,dy usamos que, numa região de área A cujo centroide tem coordenada y igual a bar y, vale
integral duplaDy,dx,dy = A,bar y
Aqui A=picdot1^2=pi e o centroide do disco fica em (0,1), logo bar y=1. Assim
integral duplaDy,dx,dy = picdot1 = pi

Resposta

pi

Exercícios relacionados