Calcule as seguintes integrais:
integral duplaD(x^2+y^2)^2 d x d y, onde D=(x, y) in R^2 / x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaDl(x^2+y^2r)^2,dx,dy
onde D é o disco de raio 2, ou seja
D = (x,y)inR^2mid x^2+y^2<=4
O conteúdo utilizado será mudança para coordenadas polares, já que o domínio e o integrando têm simetria circular.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, x^2+y^2=r^2, dx,dy = r,dr,dtheta
Assim a integral vira
integral duplaD(x^2+y^2)^2,dx,dy = integral0^2pi!integral0^2(r^2)^2,r,dr,dtheta = integral0^2pi!integral0^2r^5,dr,dtheta

Passo 3

Calculemos primeiro a integral em r:
integral0^2r^5,dr = [r^66]0^2 = 2^66 = 646 = 323

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral0^2pi323,dtheta = 323,l[,thetar]0^2pi = 323cdot2pi = 64pi3

Resposta

integral duplaDl(x^2+y^2r)^2,dx,dy = 64pi3

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