Diga se as seguintes equações diferenciais são lineares e justifique sua resposta:
y{\prime}=y+x{y}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = y + x^y
e pede para verificar se ela é linear. O conteúdo aqui é o conceito de equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 2

Uma equação diferencial de primeira ordem é dita linear se puder ser escrita na forma
y' + P(x),y = Q(x)
onde P e Q são funções que dependem apenas da variável independente x. Em particular, nenhuma dependência de y pode aparecer em Q(x) e os termos em y devem estar em primeira potência.

Passo 3

Na equação dada, o termo x^y depende de y de forma não linear (aparece como expoente). Logo não é possível reescrever
y' = y + x^y
no formato y' + P(x),y = Q(x) com Q dependendo somente de x.

Resposta

A equação diferencial não é linear, pois o termo x^y introduz dependência não linear em y.

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