2^a Questão - Valor 6,0 pontos

Determine a solução do PVI
c y^prime-sen(x) y=0 y(0)=32

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' - sin(x),y = 0, y(0)=tfrac32
O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x),
onde aqui P(x) = -sin(x) e Q(x)=0. Para equações lineares definimos o fator integrante
mu(x) = expl(integral P(x),dxr)

Passo 3

Calculamos o fator integrante:
mu(x) = expl(integral -sin(x),dxr) = expl(cos(x)r)
Multiplicando a equação original por mu(x) obtemos
exp(cos x),y' - sin(x),exp(cos x),y = 0 Longrightarrow l(exp(cos x),yr)' = 0

Passo 4

Integramos ambos os lados:
l(exp(cos x),yr)' = 0 Longrightarrow exp(cos x),y = C,
onde C é constante de integração. Assim a solução geral é
y = C,expl(-cos(x)r)

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=tfrac32. Como cos(0)=1,
y(0)=C,exp(-1)=tfrac32 Longrightarrow C = tfrac32,e
Portanto a solução particular do PVI é
y(x) = tfrac32,e;expl(-cos(x)r) = tfrac32,expl(1 - cos(x)r)

Resposta

y(x) = tfrac32,expl(1 - cos(x)r)

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