Calcule as seguintes integrais: , onde é a região do primeiro quadrante limitada por e .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas , e pelo arco de círculo . O conteúdo central é integral dupla em coordenadas polares e precisamos reescrever , e o elemento de área em termos de e .
Passo 2
Como a região é justamente o setor circular de raio 2 entre as direções (eixo ) e (linha ), podemos usar coordenadas polares com limites
Passo 3
Em coordenadas polares temos , e . Logo o integrando vira
e o integral duplex se escreve
Passo 4
Primeiro integramos em :
Então a integral vira
4 integral0^pi/4 costhetasintheta ,dtheta
Passo 5
Agora basta integrar em theta. Usando sinthetacostheta = tfrac12sin(2theta), temos