Calcule as seguintes integrais:
integral duplaS x y d A, onde S é a região do primeiro quadrante limitada por y=x, y=0 e y=raiz4-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaS x y ,dA, onde S é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y=0, y=x e pelo arco de círculo x^2+y^2=4. O conteúdo central é integral dupla em coordenadas polares e precisamos reescrever x, y e o elemento de área dA em termos de r e theta.

Passo 2

Como a região S é justamente o setor circular de raio 2 entre as direções theta=0 (eixo x) e theta=pi/4 (linha y=x), podemos usar coordenadas polares com limites
0 <= theta <= pi4,
0 <= r <= 2

Passo 3

Em coordenadas polares temos x = rcostheta, y = rsintheta e dA = r,dr,dtheta. Logo o integrando x y vira
(rcostheta)(rsintheta) = r^2costhetasintheta,
e o integral duplex se escreve
integral duplaS x y ,dA = integral0^pi/4integral0^2 r^2costhetasintheta cdot r,dr,dtheta = integral0^pi/4!integral0^2 r^3costhetasintheta ,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^2 r^3,dr = r^44|0^2 = 164 = 4
Então a integral vira
4 integral0^pi/4 costhetasintheta ,dtheta

Passo 5

Agora basta integrar em theta. Usando sinthetacostheta = tfrac12sin(2theta), temos
4 integral0^pi/4 costhetasintheta ,dtheta = 4 cdot 12 integral0^pi/4 sin(2theta) ,dtheta = 2 l[-tfrac12cos(2theta)r]0^pi/4 = -l[cos(tfracpi2) - cos(0)r] = -[0 - 1] = 1

Resposta

1

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