Calcule as seguintes integrais:
a integral de f(x)=1x+1x^3 no intervalo [1,2].

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral definida de f(x)=tfrac1x+tfrac1x^3 no intervalo [1,2]. O tema é integral definida e vamos precisar encontrar a antiderivada de cada termo de f(x) e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para determinar a antiderivada, lembramos que integral x^n,dx = tfracx^n+1n+1 (para nneq -1) e integral tfrac1x,dx = ln(x). Escrevendo 1/x = x^-1 e 1/x^3 = x^-3, obtemos a antiderivada
Assim, a antiderivada de f(x) é F(x)=integrall(tfrac1x+x^-3r),dx=ln(x)-tfrac12x^2.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos integral1^2f(x),dx=F(2)-F(1).

Passo 4

Calculamos os valores: F(2)=ln(2)-tfrac12cdot 2^2=ln(2)-tfrac18 e F(1)=ln(1)-tfrac12cdot1^2=0-tfrac12=-tfrac12.
Subtraindo,
integral1^2l(tfrac1x+tfrac1x^3r),dx=(ln(2)-tfrac18)-(-tfrac12)=ln(2)+tfrac38

Resposta

ln(2)+tfrac38

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