Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de frações parciais:
integral1^3 1x^3-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral1^31x^3-x,dx usando frações parciais. O conteúdo envolve fatorar o denominador, decompor em frações simples e lidar com a integral imprópria em x=1.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^3-x = x,(x-1),(x+1)

Passo 3

Em seguida escrevemos a fração como soma de termos simples:
1x(x-1)(x+1) = Ax + Bx-1 + Cx+1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x+1) obtemos
1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)

Passo 5

Para achar A,B,C avaliamos em valores convenientes:
  • Em x=0: 1 = A(-1)(1) A = -1
  • Em x=1: 1 = Bcdot1cdot2 B = tfrac12
  • Em x=-1: 1 = Ccdot(-1)cdot(-2) C = tfrac12

Passo 6

Logo a integral vira
integral1x^3-x,dx = integrall(-1x + 12(x-1) + 12(x+1)r)dx

Passo 7

Integramos termo a termo para obter a primitiva
F(x) = -ln|x| + tfrac12ln|x-1| + tfrac12ln|x+1| + C

Passo 8

Como o ponto x=1 torna o integrando singular, definimos a integral imprópria como
limepsilonto0+integral1+epsilon^31x^3-x,dx = limepsilonto0+l(F(3)-F(1+epsilon)r)

Passo 9

Ao verificar esse limite, o termo ln|x-1| em F(1+epsilon) vai para -infty, fazendo o valor da integral tender a +infty.

Resposta

A integral diverge (vale +∞).

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