Calcule as seguintes integrais: integral-infty^infty e^(x-1) cos [pi2(x-5)] de

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de –∞ até ∞ de e^(x-1) vezes cosl[tfracpi2(x-5)r] multiplicado por de. O conteúdo da matéria aqui é a função delta de Dirac e a propriedade de amostragem que ela tem.

Passo 2

A teoria fundamental que vamos usar é: ao integrar de –∞ até ∞ uma função f(x) vezes de, o resultado é simplesmente f(a). Em fórmula:
integral-infty^infty f(x),de

Passo 3

Aqui identificamos f(x)=e^(x-1)cosl[tfracpi2(x-5)r]. Pela propriedade da delta, a integral vale f(3). Então substituímos x=3 em f(x):
f(3)=e^(3-1)cosl[tfracpi2(3-5)r]=e^2cos(-pi)

Passo 4

Sabendo que cos(-pi)=cos(pi)=-1, obtemos
f(3)=e^2times(-1)=-e^2

Resposta

-e^2

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