Expresse
como uma integral dupla iterada com a ordem de integraçāo invertida.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente reescrever a integral dupla
mudando a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em relação a
e depois a
, vamos fazer o contrário. Para resolver isso, vamos precisar entender como a região de integração está distribuída no plano
e reorganizar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. Temos
variando de 0 a 2. Para cada valor de
,
varia de
até 4. Então, nossa região está limitada por essas curvas no plano.
Passo 3
Vamos desenhar essa região para visualizar melhor. No eixo
, temos valores de 0 a 2. A linha
começa na origem e vai até o ponto (2,4). A linha
é horizontal e corta o eixo
no 4. Portanto, a região de integração é a área entre
,
,
e
.
Passo 4
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. A partir da equação
, podemos resolver para
, ficando
.
Passo 5
Vamos determinar os novos limites de integração. O valor de
varia de 0 a 4. Para cada valor de
,
vai de 0 (o limite inferior) até
(o limite superior que obtivemos).
Passo 6
Com esses novos limites, podemos reescrever a integral dupla invertendo a ordem de integração:
Resposta
A integral dupla com a ordem de integração invertida é: