Expresse integral0^2 integral2 x^4 f(x, y) d y d x como uma integral dupla iterada com a ordem de integraçāo invertida.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente reescrever a integral dupla mudando a ordem de integração. Isso significa que, em vez de integrar primeiro em relação a e depois a , vamos fazer o contrário. Para resolver isso, vamos precisar entender como a região de integração está distribuída no plano e reorganizar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. Temos variando de 0 a 2. Para cada valor de , varia de até 4. Então, nossa região está limitada por essas curvas no plano.

Passo 3

Vamos desenhar essa região para visualizar melhor. No eixo , temos valores de 0 a 2. A linha começa na origem e vai até o ponto (2,4). A linha é horizontal e corta o eixo no 4. Portanto, a região de integração é a área entre , , e .

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . A partir da equação , podemos resolver para , ficando .

Passo 5

Vamos determinar os novos limites de integração. O valor de varia de 0 a 4. Para cada valor de , vai de 0 (o limite inferior) até (o limite superior que obtivemos).

Passo 6

Com esses novos limites, podemos reescrever a integral dupla invertendo a ordem de integração:
integral0^4 integral0^y2 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
integral0^4 integral0^y2 f(x, y) , dx , dy

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