Calcule as seguintes integrais: integral-infty^infty x(2-t) de

Passo 1

Temos a integral \int_{-\infty}^{\infty} x(2-t)\,\delta(3-t)\,dt. O conteúdo da matéria é a função delta de Dirac e sua propriedade de amostragem; vamos precisar lembrar dessa propriedade para resolver.

Passo 2

A propriedade de amostragem da delta de Dirac diz que, para uma função f(t) suficientemente “bem-comportada”, vale:
integral-infty^infty f(t),de

Passo 3

Note que temos \delta(3-t). Como a delta é par, \delta(3-t) = \delta(t-3). Assim podemos aplicar diretamente a propriedade de amostragem com a = 3.

Passo 4

No nosso caso, a função f(t) dentro da integral é f(t)=x(2-t), que trata x como constante em relação a t. Aplicando a propriedade:
integral-infty^infty x(2-t),de

Passo 5

Calculando x(2-3) resulta em x\cdot(-1) = -x.

Resposta

-x

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