Ache, por qualquer método, a transformada de Laplace das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
. A transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do tempo
para o domínio da frequência
, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo. Para isso, vamos precisar usar algumas identidades das funções hiperbólicas e as propriedades da transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definida a transformada de Laplace. Para uma função
, a transformada de Laplace
é dada por:
Mas nesse caso, calcular diretamente pode ficar complicado, então vamos simplificar a expressão
usando uma identidade hiperbólica.
Passo 3
Sabia que existe uma identidade para o quadrado do seno hiperbólico? Sim! A identidade é:
Isso vai nos ajudar a quebrar a função em termos mais fáceis de transformar.
Passo 4
Agora, substituímos
na transformada de Laplace:
Podemos separar a integral, já que a transformada é linear:
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a transformada de
é:
Aqui,
, então:
Segundo, a transformada de uma constante
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Vamos simplificar isso:
Passo 7
Para combinar as frações, encontramos um denominador comum, que é
:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: