Ache, por qualquer método, a transformada de Laplace das funções
f(t)=senh^2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace é uma ferramenta da matemática usada para transformar funções do tempo para o domínio da frequência , facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo. Para isso, vamos precisar usar algumas identidades das funções hiperbólicas e as propriedades da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definida a transformada de Laplace. Para uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt , a transformada de Laplace é dada por:
Mas nesse caso, calcular diretamente pode ficar complicado, então vamos simplificar a expressão usando uma identidade hiperbólica.

Passo 3

Sabia que existe uma identidade para o quadrado do seno hiperbólico? Sim! A identidade é:
sinh^2 t = cosh(2t) - 12
Isso vai nos ajudar a quebrar a função em termos mais fáceis de transformar.

Passo 4

Agora, substituímos Lsinh^2 t = L cosh(2t) - 12 na transformada de Laplace:
Lsinh^2 t = 12 Lcosh(2t) - 12 L1
Podemos separar a integral, já que a transformada é linear:

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a transformada de Lcosh(at) = ss^2 - a^2 é:
Lcosh(2t) = ss^2 - 4
Aqui, Lc = cs , então:
L1 = 1s
Segundo, a transformada de uma constante é:
No nosso caso, , então:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão original:
Lsinh^2 t = 12 ( ss^2 - 4 ) - 12 ( 1s )
Vamos simplificar isso:
Lsinh^2 t = s2(s^2 - 4) - 12s

Passo 7

Para combinar as frações, encontramos um denominador comum, que é Lsinh^2 t = s^22s(s^2 - 4) - s^2 - 42s(s^2 - 4) = s^2 - (s^2 - 4)2s(s^2 - 4) :
s^2 - s^2 + 4 = 4
Simplificando o numerador:
Lsinh^2 t = 42s(s^2 - 4) = 2s(s^2 - 4)
Então:

Resposta

A transformada de Laplace da função Lsinh^2 t = 2s(s^2 - 4) é:

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