Calcule as seguintes integrais: integral r e^r / 3 d r

Passo 1

Ok, vamos resolver a integral integral r e^r / 3 , dr. Aqui estamos lidando com uma função que é o produto de um polinômio ( r) e uma função exponencial ( e^r/3). Para resolver essa integral, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

A integração por partes é uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes do nosso integrando serão u e dv. Geralmente, escolhemos u como a parte que se simplifica quando derivada e dv como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos escolher:
u = r Rightarrow du = dr
e
dv = e^r / 3 , dr Rightarrow v = 3 e^r / 3
Aqui, ao integrar dv, usamos a regra básica da exponencial onde a constante multiplicativa se ajusta de acordo com o argumento da exponencial.

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
integral r e^r / 3 , dr = uv - integral v , du = r cdot 3 e^r / 3 - integral 3 e^r / 3 , dr
Simplificando:
= 3 r e^r / 3 - 3 integral e^r / 3 , dr

Passo 5

Precisamos calcular a integral restante integral e^r / 3 , dr. A integral de e^ar é 1a e^ar, onde a é uma constante.
Então:
integral e^r / 3 , dr = 3 e^r / 3

Passo 6

Substituindo de volta na expressão anterior:
3 r e^r / 3 - 3 cdot 3 e^r / 3 = 3 r e^r / 3 - 9 e^r / 3
Podemos fatorar o e^r / 3:
= e^r / 3 (3 r - 9)

Passo 7

Finalmente, adicionamos a constante de integração C para indicar que há uma infinidade de antiderivadas.

Resposta

A integral é igual a e^r / 3 (3 r - 9) + C, onde C é a constante de integração.

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