Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais ou explique porque elas não existem: integral0^1 5^t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de de 0 a 1, usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso significa que vamos precisar encontrar uma primitiva da função e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se temos uma função contínua, podemos encontrar sua integral definida usando uma primitiva dessa função. Ou seja, precisamos achar uma função integral a^t , dt = a^tln a + C tal que F(t) = 5^tln 5 + C .
Para encontrar a primitiva de , usamos a regra de integração para funções exponenciais. A primitiva de (onde é uma constante) é dada por:
Aplicando isso para , temos:

Passo 3

Agora que temos a primitiva, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^1 5^t , dt = F(1) - F(0)
Vamos calcular cada termo:
F(1) = 5^1ln 5 = 5ln 5
F(0) = 5^0ln 5 = 1ln 5
Subtraindo:
F(1) - F(0) = 5ln 5 - 1ln 5 = 5 - 1ln 5 = 4ln 5

Resposta

A integral é igual a .

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