Seja f(x)=x^2-4x-1
Mostre que f^prime(x)=x^2-2 x+4(x-1)^2 e determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x);

Passo 1

Neste exercício, temos a função f(x)=x^2-4x-1. O conteúdo é derivação por regra do quociente e análise de monotonicidade. Vamos derivar f(x) e depois estudar o sinal de f'(x) para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento.

Passo 2

Para derivar f(x)=u(x)v(x), usamos a regra do quociente: f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2 Aqui u(x)=x^2-4 e v(x)=x-1. Calculando as derivadas: u'(x)=2x e v'(x)=1.

Passo 3

Substituindo na fórmula, temos: f'(x)=2x,(x-1)-(x^2-4)cdot1(x-1)^2 = 2x^2-2x -x^2+4(x-1)^2 = x^2 -2x +4(x-1)^2

Passo 4

Agora vamos analisar o sinal de f'(x)=x^2-2x+4(x-1)^2. Note que (x-1)^2>0 para todo xneq1. O numerador é a quadrática x^2-2x+4. Seu discriminante é De e o coeficiente de x^2 é positivo, logo x^2-2x+4>0 para todo x.

Passo 5

Como numerador e denominador de f'(x) são sempre positivos (exceto em x=1, onde a derivada não existe), concluímos que f'(x)>0 para todo xneq1. Portanto, a função é crescente em cada intervalo de definição.

Resposta

f'(x)=dfracx^2-2x+4(x-1)^2. A função é crescente em e em .

Exercícios relacionados