Seja
Mostre que
e determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
;
Mostre que
Passo 1
Neste exercício, temos a função
. O conteúdo é derivação por regra do quociente e análise de monotonicidade. Vamos derivar
e depois estudar o sinal de
para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento.
Passo 2
Para derivar
, usamos a regra do quociente:
Aqui
e
. Calculando as derivadas:
e
.
Passo 3
Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Agora vamos analisar o sinal de
. Note que
para todo
. O numerador é a quadrática
. Seu discriminante é
e o coeficiente de
é positivo, logo
para todo
.
Passo 5
Como numerador e denominador de
são sempre positivos (exceto em
, onde a derivada não existe), concluímos que
para todo
. Portanto, a função é crescente em cada intervalo de definição.