Calcule as seguintes integrais:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. O conteúdo é integração por substituição, pois temos uma raiz de uma razão envolvendo
.
Passo 2
Vamos usar a substituição
. A ideia é simplificar a raiz e transformar tudo em funções racionais de
.
Da definição de temos
Da definição de
Rearranjando, obtemos
Derivando em relação a
:
Passo 3
Substituindo na integral:
Passo 4
Para integrar
, escrevemos
. Assim,
Passo 5
Integramos cada termo separadamente:
Passo 6
Juntando os resultados:
Passo 7
Volta para
. Note que
então
Substituindo em
obtém-se a forma final.
Resposta final:
Resposta final:
Resposta
4\arctan!\bigl(\sqrt{\tfrac{x+3}{1-x}}\bigr) - \sqrt{(x+3)(1-x)} + C