Calcule as seguintes integrais:
integral raiz3+x1-x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral raizx+31-x,dx. O conteúdo é integração por substituição, pois temos uma raiz de uma razão envolvendo x.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = raizx+31-x. A ideia é simplificar a raiz e transformar tudo em funções racionais de u.
Da definição de u temos
u^2 = x+31-x Longrightarrow u^2(1-x)=x+3
Rearranjando, obtemos
x(1+u^2)=u^2-3 Longrightarrow x=u^2-3u^2+1
Derivando em relação a u:
dx=8u(u^2+1)^2,du

Passo 3

Substituindo na integral:
integral raizx+31-x,dx =integral u cdot 8u(u^2+1)^2,du =integral 8u^2(u^2+1)^2,du

Passo 4

Para integrar 8u^2(u^2+1)^2, escrevemos u^2=(u^2+1)-1. Assim,
8u^2(u^2+1)^2 =8l(1u^2+1-1(u^2+1)^2r)

Passo 5

Integramos cada termo separadamente:
integral 8u^2+1,du = 8arctan u,
integral 8(u^2+1)^2,du = 4arctan u + 4uu^2+1

Passo 6

Juntando os resultados:
I=8arctan u -l(4arctan u + 4uu^2+1r)+C =4arctan u - 4uu^2+1+C

Passo 7

Volta para x. Note que
u^2+1=x+31-x+1=41-x,
então
uu^2+1=raizx+31-x41-x=raiz(x+3)(1-x)4
Substituindo em I obtém-se a forma final.
Resposta final:

Resposta

4\arctan!\bigl(\sqrt{\tfrac{x+3}{1-x}}\bigr) - \sqrt{(x+3)(1-x)} + C

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