Calcule as seguintes integrais:
integral 6-xraiz4 x^2-12 x+7 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de um quociente em que o denominador envolve uma raiz de um polinômio quadrático. O conteúdo principal é técnica de substituição após completar o quadrado no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado em 4x²−12x+7. Note que 4x²−12x+7 = 4(x²−3x)+7 = 4[(x−3/2)²−9/4]+7 = 4(x−3/2)²−2. Para simplificar, fazemos a substituição u = 2x−3, pois então 4x²−12x+7 = u²−2.

Passo 3

Derivando u = 2x−3 obtemos du = 2 dx, isto é, dx = du/2. Também escrevemos o numerador 6−x em função de u:
Abrindo, x = (u+3)/2, logo 6−x = 6−(u+3)/2 = (12−u−3)/2 = (9−u)/2. Assim a integral original vira
integral 6-xraiz4x^2-12x+7,dx = integral (9-u)/2raizu^2-2du2 = 14integral l(9raizu^2-2-uraizu^2-2r)du

Passo 4

Agora separamos em duas integrais padrão:
14l[9integral duraizu^2-2 - integral u,duraizu^2-2r] A primeira é integral du/raizu^2-a^2=ln|u+raizu^2-a^2|, com a=raiz2. A segunda é integral u/raizu^2-a^2,du=raizu^2-a^2

Passo 5

Portanto o resultado em u é
14l[9lnl|u+raizu^2-2r| - raizu^2-2r]+C

Passo 6

Voltando para x, lembrando u=2x-3 e raizu^2-2=raiz4x^2-12x+7, obtemos a resposta final.

Resposta

94lnl|2x-3+raiz4x^2-12x+7r| - 14raiz4x^2-12x+7 + C

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