O enunciado pede para calcular a integral de um quociente em que o denominador envolve uma raiz de um polinômio quadrático. O conteúdo principal é técnica de substituição após completar o quadrado no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado em 4x²−12x+7. Note que 4x²−12x+7 = 4(x²−3x)+7 = 4[(x−3/2)²−9/4]+7 = 4(x−3/2)²−2. Para simplificar, fazemos a substituição u = 2x−3, pois então 4x²−12x+7 = u²−2.
Passo 3
Derivando u = 2x−3 obtemos du = 2 dx, isto é, dx = du/2. Também escrevemos o numerador 6−x em função de u:
Abrindo, x = (u+3)/2, logo 6−x = 6−(u+3)/2 = (12−u−3)/2 = (9−u)/2. Assim a integral original vira
Passo 4
Agora separamos em duas integrais padrão:
A primeira é , com . A segunda é
Passo 5
Portanto o resultado em u é
Passo 6
Voltando para x, lembrando u=2x-3 e raizu^2-2=raiz4x^2-12x+7, obtemos a resposta final.
Resposta
94lnl|2x-3+raiz4x^2-12x+7r| - 14raiz4x^2-12x+7 + C