Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente técnicas de substituição. Vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e como fazer mudanças de variável para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que
, então podemos reescrever
como
.
Então, a integral fica:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Substituindo de volta na integral:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Precisamos expressar tudo em termos de
. Vamos rearranjar para encontrar
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original:
Mas sabemos que
, mas isso não simplifica muito. Então, vamos tentar uma outra substituição.
Passo 6
Outra abordagem é utilizar
. Sabemos que:
Também,
.
Então, a integral fica:
Isso simplifica bastante!
Passo 7
Agora, vamos integrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, voltamos à variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.