Calcule as seguintes integrais:
integral raiztan xcos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente técnicas de substituição. Vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas e como fazer mudanças de variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que integral raizsin xcos xcos^2 x , dx = integral raizsin x / cos xcos^2 x , dx , então podemos reescrever como .
Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raizsin xcos x = raizsin xraizcos x = raizsin xcos^1/2 x
Substituindo de volta na integral:
integral raizsin xcos^1/2 x cdot cos^2 x , dx = integral raizsin xcos^5/2 x , dx

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx . Então, a derivada de dx = ducos x em relação a é:
Precisamos expressar tudo em termos de . Vamos rearranjar para encontrar :

Passo 5

Substituindo integral raizucos^5/2 x cdot ducos x = integral raizucos^7/2 x , du e na integral original:
Mas sabemos que , mas isso não simplifica muito. Então, vamos tentar uma outra substituição.

Passo 6

Outra abordagem é utilizar dtdx = sec^2 x Rightarrow dx = dtsec^2 x = cos^2 x , dt . Sabemos que:
integral raiztcos^2 x cdot cos^2 x , dt = integral raizt , dt
Também, .
Então, a integral fica:
Isso simplifica bastante!

Passo 7

Agora, vamos integrar integral raizt , dt = integral t^1/2 , dt = 23 t^3/2 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, voltamos à variável original 23 t^3/2 + C = 23 (tan x)^3/2 + C , lembrando que :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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