Calcule as seguintes integrais:
integral-2^3 raiz|x|-x d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral-2^3 raiz|x|-x,dx. O conteúdo principal aqui é lidar com valor absoluto dentro de uma raiz e depois executar a integral de uma função raiz. Para resolver, vamos precisar lembrar como separar a função conforme o sinal de x e, em seguida, integrar uma potência de x ou usar substituição.

Passo 2

Primeiro, entendemos a expressão dentro da raiz: |x|-x. Como |x| muda conforme x é negativo ou não, dividimos o intervalo de integração em duas partes: de -2 a 0 e de 0 a 3.

Passo 3

Para x>=0, temos |x|=x, então |x|-x = x-x = 0. Assim, em [0,3] a integranda é raiz0=0. Logo,

Passo 4

Para x<0, temos |x|=-x, então |x|-x = -x - x = -2x. A integranda fica raiz-2x. Logo precisamos calcular

Passo 5

Usamos a substituição u = -2x, de modo que du = -2,dx ou dx = -tfrac12,du. Quando x=-2, u = -2(-2)=4; quando x=0, u=0. Assim,

Passo 6

Invertendo os limites para ficar de 0 a 4, vem

Passo 7

Agora integramos u^1/2:

Passo 8

Multiplicando pelo fator tfrac12, obtemos

Passo 9

Somando as duas partes da integral (de -2 a 0 deu 8/3, e de 0 a 3 deu 0), a integral total é 8/3.

Resposta

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