Calcule as seguintes integrais:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
. O conteúdo principal aqui é lidar com valor absoluto dentro de uma raiz e depois executar a integral de uma função raiz. Para resolver, vamos precisar lembrar como separar a função conforme o sinal de
e, em seguida, integrar uma potência de
ou usar substituição.
Passo 2
Primeiro, entendemos a expressão dentro da raiz:
. Como
muda conforme
é negativo ou não, dividimos o intervalo de integração em duas partes: de
a
e de
a
.
Passo 3
Para
, temos
, então
. Assim, em
a integranda é
. Logo,
Passo 4
Para
, temos
, então
. A integranda fica
. Logo precisamos calcular
Passo 5
Usamos a substituição
, de modo que
ou
. Quando
,
; quando
,
. Assim,
Passo 6
Invertendo os limites para ficar de 0 a 4, vem
Passo 7
Agora integramos
:
Passo 8
Multiplicando pelo fator
, obtemos
Passo 9
Somando as duas partes da integral (de
a
deu
, e de
a
deu 0), a integral total é
.