Calcule as seguintes integrais:
integral0^pi / 2 sin ^3 x cos ^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma potência de senos e cossenos:
Queremos
integral0^pi/2 sin^3 x,cos^3 x,dx
O conteúdo principal aqui é integração de funções trigonométricas usando identidades e substituição.

Passo 2

Para simplificar o integrando, note que podemos escrever sin^3 x = (sin^2 x)sin x = (1-cos^2 x)sin x. Então
sin^3 x,cos^3 x = (1-cos^2 x),cos^3 x,sin x
Isso prepara o caminho para uma substituição simples.

Passo 3

Fazendo a substituição u = cos x, temos du = -sin x,dx. Em termos de limites, quando x=0, u=1; quando x=pi/2, u=0. Assim a integral vira
integral0^pi/2 sin^3 x,cos^3 x,dx = integral0^pi/2 (1-cos^2 x)cos^3 xsin x,dx = -integral1^0(1-u^2),u^3,du = integral0^1(u^3 - u^5),du

Passo 4

Agora integramos o polinômio:
integral0^1(u^3 - u^5),du = l[u^44 - u^66r]0^1 = 14 - 16 = 112

Passo 5

Portanto, o valor da integral definida é 1/12.

Resposta

1/12

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