(a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de
a série converge (b) absolutamente? E © condicionalmente?
Passo 1
Vamos começar resumindo a questão: temos a série de potências
O conteúdo é série de potências e a ideia é achar o raio de convergência, o intervalo em que ela converge, e depois distinguir convergência absoluta e condicional.
Passo 2
Primeiro simplificamos o termo geral usando fórmulas conhecidas:
Logo o coeficiente fica
A série vira
Passo 3
Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz. Note que
Então o raio é
Passo 4
No interior do disco, ou seja para |x|<1, a série converge absolutamente, pois se aplica diretamente o teste da razão ou da raiz de uma série geométrica modificada.
Passo 5
Faltam os extremos: em x=1 temos
que diverge pelo teste da comparação com a série harmônica. Já em x=-1 obtém-se
que é alternante, com termo geral positivo decrescente a zero, então converge (teste de Leibniz).
Passo 6
Portanto a convergência é: absolutamente para |x|<1 e condicionalmente em x=-1; no ponto x=1 diverge.
Resposta
R=1. A série converge para x\in[-1,1) (interior |x|<1 mais o ponto x=-1). Converge absolutamente se |x|<1 e condicionalmente em x=-1.