(a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E © condicionalmente?
sumn=1^infty 1+2+3+cdots+n1^2+2^2+3^2+cdots+n^2 x^n

Passo 1

Vamos começar resumindo a questão: temos a série de potências
sumn=1^infty 1+2+cdots+n1^2+2^2+cdots+n^2,x^n
O conteúdo é série de potências e a ideia é achar o raio de convergência, o intervalo em que ela converge, e depois distinguir convergência absoluta e condicional.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral usando fórmulas conhecidas:
1+2+cdots+n=n(n+1)2,
1^2+2^2+cdots+n^2=n(n+1)(2n+1)6
Logo o coeficiente fica
1+2+cdots+n1^2+2^2+cdots+n^2=n(n+1)/2n(n+1)(2n+1)/6=32n+1
A série vira
sumn=1^infty 32n+1x^n

Passo 3

Para achar o raio de convergência usamos o teste da raiz. Note que
|an|^1/n=l|32n+1x^nr|^1/n=|x|cdotl(tfrac32n+1r)^1/nto|x|(ntoinfty)
Então o raio é
R=1

Passo 4

No interior do disco, ou seja para |x|<1, a série converge absolutamente, pois se aplica diretamente o teste da razão ou da raiz de uma série geométrica modificada.

Passo 5

Faltam os extremos: em x=1 temos
sumn=1^infty32n+1,
que diverge pelo teste da comparação com a série harmônica. Já em x=-1 obtém-se
sumn=1^infty3(-1)^n2n+1,
que é alternante, com termo geral positivo decrescente a zero, então converge (teste de Leibniz).

Passo 6

Portanto a convergência é: absolutamente para |x|<1 e condicionalmente em x=-1; no ponto x=1 diverge.

Resposta

R=1. A série converge para x\in[-1,1) (interior |x|<1 mais o ponto x=-1). Converge absolutamente se |x|<1 e condicionalmente em x=-1.

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