Calcule as seguintes integrais:
integral e^raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro do exponencial. Vamos definir . Isso significa que .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 12 x^-1/2 = 12raizx em relação a para substituir . Derivando , temos:

Passo 4

Rearranjando a expressão para dx = 2raizx , du = 2u , du , obtemos:

Passo 5

Substituindo integral e^raizx , dx = integral e^u cdot 2u , du = 2 integral u e^u , du e na integral original, temos:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:

Passo 7

Vamos identificar du = du e v = integral e^u , du = e^u para aplicar a integração por partes:
  • Seja (aqui, apenas uma variável, não confunda com o nosso )
  • Então,
Agora, calculamos e :

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du = u e^u - e^u + C
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltando à nossa integral original:
2 integral u e^u , du = 2 ( u e^u - e^u ) + C = 2u e^u - 2 e^u + C

Passo 10

Lembrando que 2 raizx , e^raizx - 2 e^raizx + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral 2 raizx , e^raizx - 2 e^raizx + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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