Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais envolvendo funções exponenciais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro do exponencial. Vamos definir
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Derivando
, temos:
Passo 4
Rearranjando a expressão para
, obtemos:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, temos:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Passo 7
Vamos identificar
e
para aplicar a integração por partes:
- Seja
(aqui, apenas uma variável, não confunda com o nosso ) - Então,
Agora, calculamos
e
:
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Voltando à nossa integral original:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.