Considere a função dada por f(x)=e^x cos (x), para x in[-pi / 2, pi / 2]. Note que as únicas raízes de f são os pontos x=-pi / 2 e x=pi / 2.
Determine o ponto de inflexão de f e a concavidade de seu gráfico.

Passo 1

A função é f(x)=e^x cos(x) definida em [−π/2,π/2]. O conteúdo da matéria que vamos usar é derivadas de produto, segunda derivada, sinal de f″(x), concavidade e ponto de inflexão. Para resolver, precisamos calcular f′(x), f″(x), achar onde f″(x)=0 e analisar o sinal de f″(x) nos intervalos.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada usando a regra do produto. Temos f(x)=e^x·cos(x), logo,
[f’(x)=\frac{d}{dx}(ex)\cdot\cos(x)+ex\cdot\frac{d}{dx}(\cos(x))=ex\cos(x)-ex\sin(x)=e^x(\cos(x)-\sin(x)).

Passo 3

Agora derivamos novamente para obter f″(x). Aplicando derivada do produto em f′(x)=e^x(\cos(x)-\sin(x)) resultará em:
[f’’(x)=ex(\cos(x)-\sin(x))+ex(-\sin(x)-\cos(x))=e^x(\cos x-\sin x-\sin x-\cos x)= -2e^x\sin(x).

Passo 4

Para encontrar o ponto de inflexão, igualamos f″(x)=0. Como e^x>0 para todo x, basta ter sin(x)=0. No intervalo [−π/2,π/2] isso ocorre apenas em x=0. O ponto de inflexão é então (0,f(0))=(0,1).

Passo 5

Para a concavidade, analisamos o sinal de f″(x) = -2e^x sin(x). Como e^x>0, o sinal vem de -sin(x). Se x∈(−π/2,0), sin(x)<0 ⇒ -sin(x)>0 ⇒ f″(x)>0, ou seja, concavidade para cima. Se x∈(0,π/2), sin(x)>0 ⇒ -sin(x)<0 ⇒ f″(x)<0, ou seja, concavidade para baixo.

Resposta

Ponto de inflexão em (0,1). O gráfico é côncavo para cima em (−π/2,0) e côncavo para baixo em (0,π/2).

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