Calcule as seguintes integrais:
integral sen 2 thetacos theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral de sin 2thetacos theta dtheta. A gente vai usar conhecimentos de cálculo integral, principalmente integração por substituição e identidades trigonométricas. Então, vamos precisar lembrar de algumas fórmulas trigonométricas e técnicas de integração para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que sin 2theta = 2 sin theta cos theta. Substituindo isso na integral, temos:
integral sin 2thetacos theta dtheta = integral 2 sin theta cos thetacos theta dtheta

Passo 3

Agora, podemos simplificar a fração. O cos theta no numerador e no denominador se cancela:
integral 2 sin theta cos thetacos theta dtheta = integral 2 sin theta , dtheta

Passo 4

A integral agora ficou mais simples: 2 integral sin theta , dtheta. Vamos integrar sin theta em relação a theta. Lembrando que a integral de sin theta é - cos theta.
2 integral sin theta , dtheta = 2 (-cos theta) = -2 cos theta

Resposta

A integral de sin 2thetacos theta dtheta é:
-2 cos theta + C
onde C é a constante de integração.

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